Легкая задача.
Предприятие "Нефтегаз" занимается добычей нефти (x) и газа (y). Из-за сложных погодных условий затраты труда представлены как Lx = \sqrt[4]{x}, Ly = 20\sqrt{y}, у фирмы имеется 150 единиц труда. Чтобы выпускать товар по той же технологии, но на другом заводе, нужно затратить k единиц труда на установку такого же оборудования. Определите, при каких положительных значениях k фирма не выиграет от этого предложения, если нефть продается на гигантском совершенно-конкурентном рынке по цене 40, а обратный спрос на газ – P_y=\frac{50}{\sqrt y}.
При открытии нового завода мы несём фиксированные затраты труда, которые должны окупаться за счёт эффективного распределения выпусков. Рассмотрим предельные затраты труда на производство x и y. Они выражены как MCL_y=\frac{10}{\sqrt y}, MCL_x=\frac{1}{4x^{3/4}}. И те, и другие убывают по собственным ресурсам (переменным). Теперь рассмотрим любые два завода с убывающими предельными издержками, на которых производится определенный объём x и y. Так как на каждом из них каждая следующая единица блага обходится дешевле, единственным оптимальным распределением выпусков будет производить всё только на одном из заводов. Почему?
Иначе можно было бы увеличивать выпуск на одном из заводов, неся всё меньшие издержки на производство каждой дополнительной единицы и экономя все больше с каждой единицы, снятой со второго. Таким образом, так можно сравнить все заводы между собой и получить, что оптимально иметь лишь один завод для получения минимальных издержек, даже если платы в размере k нет.
P.S. можно привести аналитическое док-во такого распределения выпусков на двух заводах. Пусть Q − общий выпуск, q_1 и q_2 – выпуски на первом и втором заводах соответственно.
TC = TC_1(q_1) + TC_2(Q - q_1).
Найдём предельные издержки, взяв производную.
MC(q_1) = TC_1'(q_1) + TC_2'(Q - q_1)q_1 = MC_1(q_1) - MC_2(Q - q_1).
C ростом q_1 производная убывает, поскольку MC_1 убывают, а MC_2 возрастают (с минусом — убывают), т.к. уменьшается q_2, соответственно возможны 3 случая:
1. Производная меняет знак с "+" на "-", тогда q_1^*=0 или Q
2. Производная всегда отрицательна, тогда q_1^*=Q
3. Производная всегда положительна, значит q_1^*=0
Таким образом, два и более заводов с убывающими MC использовать одновременно невыгодно. Ведь при сравнении каждых двух заводов между собой мы хотим получить минимальные издержки для каждого кол-ва продукции, значит если сложить два таких завода между собой и получить, что все производится только на одном, можно сравнить уже отдельно эти новые издержки с другими убывающими предельными, так как новые от одного лучше для любого Q, чем от комбинирования, каждый раз убеждаясь, что производство сосредоточено только на одном заводе ч.т.д.
Ответ: Ни при каких.