Исследуем изначальное равновесие, когда Вова не жует жвачку. В нашем случае кривая безразличия имеет стандартный вид, предельная норма замещения меньше 0 (MRS < 0), MRS' > 0, значит кривая безразличия убывает и выпукла вниз. Тогда мы можем воспользоваться правилом, согласно которому в точке оптимума потребитель выбирает такие количества товаров X и Y, что отношение их предельных полезностей равно отношению цен:

\frac{MU_x}{P_x} = \frac{MU_y}{P_y}

12 / 4x = 18 / 9y \Rightarrow 2x = 3y. Подставляем в уравнение бюджетного ограничения, получаем, что X=9, Y=6. Оба значения положительны, значит мы действительно нашли оптимум.

Теперь нужно понять, стоит ли жевать жвачку. То есть имеет ли смысл использовать ее перед едой для увеличения суммарной полезности? Для ответа на этот вопрос применим маржинальный анализ. Предельная полезность от жевания является постоянной величиной, ровно как и ее цена. Значит сколько бы мы ни купили жвачки, на один рубль мы будем иметь 1/3 единичку полезности, т.е. \frac{MU_g}{P_g} = 1/3.

А как обстоят дела в нашем равновесии без жвачки? Там соответствующие отношения тоже равны 1/3. Вопрос: стоит ли жевать жвачку, чтобы, отказавшись от некоторого количества товара X и/или Y, последние единицы которого приносят нам на рубль 1/3 единичек полезности, получит на рубль 1/3 единичек полезности и при этом иметь потери, связанные с появлением параметра к в функции полезности? Ответ очевиден: нет. И даже если бы функция полезности никак не менялась при жевании жвачки, то ответ бы все равно не менялся:

Ведь если мы приобретем хоть чуть-чуть жвачки, то откажемся от некоторого количества товара X или Y. Но у этих товаров отношение предельной полезности на рубль убывает по количеству, значит, отказавшись от сколь угодно малого количества товара X или Y, мы теряем в полезности, ведь мы получили на рубль 1/3 утиля от жвачки, а отказались от X -ов или Y -ов, предельная полезность на рубль для которых больше 1/3.

Ну а если Вова получит еще 999 афро и будет дальше тратить их на еду? Тут применимы те же рассуждения: теперь если он докупит X или Y к тому, что он съедает в старом равновесии, то на рубль получит меньше, чем 1/3 утиля. А при жевании жвачки — ровно такую величину полезности на рубль. Значит весь дополнительный доход имеет смысл потратить на жвачку, коей он сможет купить ровно 333 штучки. И да пусть эти три троечки принесут ему удачу в максимизации полезности.

Ответ:

9 единиц Х, 6 единиц У и ни грамма бабл-гама.

Дополнительный доход весь пойдет на приобретение 333 штучек жвачки.