Задача о золотом сечении
На конкурентном рынке спрос и предложение линейны, причем предложение обладает единичной эластичностью. Известен интересный факт: если фирмы сговорятся и будут действовать как монополист, то их общая выручка не изменится. Определите:
- На сколько процентов изменятся рыночная цена и объем в результате сговора;
- Эластичность спроса по цене в начальной и конечной точке;
- Показатель Лернера монопольной власти картеля;
- Процентное изменение совокупной прибыли фирм, если FC=0.
Ответ
Аналитическое решение:
Пусть и . Первоначальное равновесие:
.
Для нахождения нового равновесия будем использовать известный факт о том, что кривая предельных издержек картеля совпадает с кривой предложения на конкурентном рынке (вообще говоря, это требует отдельного доказательства):
Решая последнее уравнение относительно b, получаем:
Индекс Лернера:
Для того чтобы найти отношение прибылей, выведем функцию переменных издержек картеля: . Тот факт, что функцию издержек картеля можно использовать и для нахождения совокупных издержек конкурентной отрасли также примем без доказательства.
Значит, прибыль выросла примерно на 61,8%. Сговор, что называется, себя оправдал.
Геометрическое решение:
Обозначим . Тогда, раз выручка не изменилась, очевидно, что . Второе уравнение для нахождения и получим геометрически.
Функция спроса линейна, следовательно график функции выручки является квадратной параболой. Одним из свойств квадратной параболы является, как известно, симметричность: если в двух точках значения функции равны, то эти точки находятся на равном расстоянии от точки экстремума. Поэтому рассматриваемые нами точки и , значения выручки в которых, по условию, равны, находятся на равном расстоянии от точки A, в которой MR=0.
Значит,, и значит, прямая ровно вдвое положе прямой , то есть вдвое положе . Но кривая спроса также вдвое положе кривой прямая параллельна графику спроса. Значит,, откуда заключаем, что .
Из подобия и следует, что Но, как мы уже доказали, , поэтому , то есть , или .
Получаем систему
Ее корнями являются
Теперь рассчитаем коэффициенты эластичности спроса.
Индекс Лернера: .
Общие издержки конкурентной отрасли равны площади , а общие издержки картеля – площади . Поэтому прибыль конкурентной отрасли равна площади , а прибыль картеля – площади трапеции .
.
Ответ:
Примечание:
Данная задача наглядно иллюстрирует тот факт, что знаменитые числа «золотого сечения» , которыми восхищались еще древние греки, добрались, похоже, и до экономических моделей. Подробнее о «золотом сечении» см. kvant.mirror1.mccme.ru/1973/08/zolotoe_sechenie.htm