Задача о золотом сечении

Аналитическое решение:

Пусть P_d=a-bQ и P_s=cQ. Первоначальное равновесие: 

P_d = P_s \Rightarrow Q_0 = \frac{a}{b + c}; \quad P_0 = \frac{ac}{b + c}..

Для нахождения нового равновесия будем использовать известный факт о том, что кривая предельных издержек картеля совпадает с кривой предложения на конкурентном рынке (вообще говоря, это требует отдельного доказательства):

MR = a - 2bQ = MC = cQ \Rightarrow Q_1 = \frac{a}{2b+c}; \quad P_1 = \frac{a(b+c)}{2b+c}. \text{По условию, } P_1Q_1 = P_0Q_0.

\frac{a^2(b+c)}{(2b+c)^2} = \frac{a^2c}{(b+c)^2} \Rightarrow (b+c)^3 = c(2b+c)^2 \Rightarrow b^2 - bc - c^2 = 0.

Решая последнее уравнение относительно b, получаем:

b = \frac{\sqrt{5}+1}{2}c.

\frac{P_1}{P_0} = \frac{a(b+c)}{2b+c} \cdot \frac{ac}{b+c} = \frac{(b+c)^2}{c(2b+c)} = \frac{c^2\left(\frac{(\sqrt{5}+1)/2+1}{c(2\cdot(\sqrt{5}+1)/2+1)}\right)^2}{c^2\left(2\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1\right)^2} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \Rightarrow \Delta\% (P) \approx 61{,}8\%.

\frac{Q_1}{Q_0} = \frac{a}{2b+c} : \frac{a}{b+c} = \frac{b+c}{2b+c} = \frac{c\left(\frac{(\sqrt{5}+1)/2+1}{c(2\cdot(\sqrt{5}+1)/2+1)}\right)}{c\left(2\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1\right)} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Rightarrow \Delta \% (Q) \approx -38{,}2\%.

E_0 = -\frac{1}{b} \cdot \frac{P_0}{Q_0} = -\frac{ac}{b(b+c)} \cdot \frac{a}{b+c} = -\frac{c}{b} = -\frac{2}{\sqrt{5}+1} = -\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx -0{,}618.

E_1 = -\frac{1}{b} \cdot \frac{P_1}{Q_1} = -\frac{a(b+c)}{b(2b+c)} \cdot \frac{a}{2b+c} = -\left(1 + \frac{c}{b}\right) = -\frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx -1{,}618.

Индекс Лернера: L = \frac{1}{|E_1|} = \frac{2}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0{,}618.

Для того чтобы найти отношение прибылей, выведем функцию переменных издержек картеля: MC(Q) = cQ \Rightarrow VC(Q) = \frac{c}{2}Q^2. Тот факт, что функцию издержек картеля можно использовать и для нахождения совокупных издержек конкурентной отрасли также примем без доказательства.

\frac{\pi_{\text{monopoly}}}{\pi_{\text{competition}}} = \frac{P_1 Q_1 - VC(Q_1) - 0}{P_0 Q_0 - VC(Q_0) - 0} = \frac{\frac{a^2(b+c)}{(2b+c)^2} - \frac{c}{2}\cdot\frac{a^2}{(2b+c)^2}}{\frac{a^2c}{(b+c)^2} - \frac{c}{2}\cdot\frac{a^2}{(b+c)^2}} = \frac{\frac{a^2(b+c)}{(2b+c)^2} - \frac{c}{2}\cdot\frac{a^2}{(b+c)^2}}{\frac{a^2c}{(b+c)^2} - \frac{c}{2}\cdot\frac{a^2}{(b+c)^2}} = \frac{(b+c)^2}{c(2b+c)} = \frac{P_1}{P_0} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}618.

Значит, прибыль выросла примерно на 61,8%. Сговор, что называется, себя оправдал.

Геометрическое решение:

Обозначим \hat{q} = \frac{q_1}{q_0}, \quad \hat{p} = \frac{p_1}{p_0}.. Тогда, раз выручка не изменилась, очевидно, что \hat{p} \hat{q}=1. Второе уравнение для нахождения \hat{p}  и \hat{q}  получим геометрически.

Функция спроса линейна, следовательно график функции выручки является квадратной параболой. Одним из свойств квадратной параболы является, как известно, симметричность: если в двух точках значения функции равны, то эти точки находятся на равном расстоянии от точки экстремума. Поэтому рассматриваемые нами точки Q_1  и Q_0, значения выручки в которых, по условию, равны, находятся на равном расстоянии от точки A, в которой MR=0.

Значит,Q_1Q_0=2Q_1A, и значит, прямая EQ_0  ровно вдвое положе прямой EA, то есть вдвое положе MR. Но кривая спроса также вдвое положе кривой MR \Rightarrow  прямая EQ_0  параллельна графику спроса. Значит,\Delta Q_1 EQ_0 = \Delta FGC., откуда заключаем, что P_1P_0=FG=EQ_1=OX.

Из подобия \Delta OXE  и \Delta OP_0 C  следует, что \frac{OX}{OP_0} = \frac{OQ_1}{OQ_0}. Но, как мы уже доказали, OX=P_1P_0, поэтому \frac{P_1P_0}{OP_0} = \frac{OQ_1}{OQ_0}., то есть \frac{p_1 - p_0}{p_0} = \frac{q_1}{q_0}., или \hat{p} - 1= \hat{q}.

Получаем систему \begin{cases} \hat{p} \hat{q} = 1 \\ \hat{p} - 1 = \hat{q} \end{cases}

Ее корнями являются \hat{p} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}, \quad \hat{q} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.

Теперь рассчитаем коэффициенты эластичности спроса.

OA = AK, \, Q_1 A = A Q_0 \Rightarrow OQ_1 = Q_0 K 

E_0 = -\frac{Q_0 K}{OQ_0} = -\frac{OQ_1}{OQ_0} = -\hat{q} = -\frac{\sqrt{5}-1}{2}. 

E_1 = -\frac{Q_1 K}{OQ_1} = -\frac{OQ_0}{OQ_1} = -\frac{1}{\hat{q}} = -\frac{\sqrt{5}+1}{2}

Индекс Лернера: L = \frac{p_1 - MC(q_1)}{p_1} = \frac{OP_1 - OX}{OP_1} = \frac{OP_1 - P_0 P_1}{OP_1} = \frac{OP_0}{OP_1} = \frac{1}{\hat{p}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}..

Общие издержки конкурентной отрасли равны площади \Delta OCQ_0, а общие издержки картеля – площади \Delta OEQ_1. Поэтому прибыль конкурентной отрасли равна площади \Delta OP_0 C, а прибыль картеля – площади трапеции OP_1 FE.

FE=OP_1-OX=OP_1-P_1P_0=OP_0=p_0

\frac{\pi_{\text{monopoly}}}{\pi_{\text{competition}}} = \frac{S_{OP_1 FE}}{S_{OP_0 C}} = \frac{OQ_1 \cdot (OP_1 + FE)/2}{OP_0 \cdot OQ_0/2} = \frac{q_1(p_1 + p_0)}{q_0 p_0} = \hat{q}(\hat{p} + 1) = \hat{q} \hat{p} + \hat{q} = 1 + \hat{q} = \hat{p} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}..

Ответ: 

\Delta\% (P) \approx +61{,}8\%; \quad \Delta\% (Q) \approx -38{,}2\%; \quad 

E_0 \approx -0{,}618; \quad E_1 \approx -1{,}618; \quad L \approx 0{,}618; \quad 

\Delta\% (\pi) \approx +61{,}8\%.

Примечание: 

Данная задача наглядно иллюстрирует тот факт, что знаменитые числа «золотого сечения» \varphi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \quad \text{и} \quad \Phi = \frac{\sqrt{5}-1}{2}, которыми восхищались еще древние греки, добрались, похоже, и до экономических моделей. Подробнее о «золотом сечении» см. kvant.mirror1.mccme.ru/1973/08/zolotoe_sechenie.htm