Задание 12. МЭ ВСоШ 2024 (11 класс)
Инна является единственным поставщиком орехов макадамия, что делает её монополистом. Издержки Инны выглядят следующим образом: TC=Q^2+4Q. Спрос имеет вид Q_d=100-P, где Q − количество килограммов, а P − цена за килограмм орехов. Государство решило ввести на Инну специальный налог – за каждый проданный килограмм орехов сверх 20 кг Инна должна платить 8 д.е. в казну. Сколько килограммов орехов продаст Инна в таком случае?
Ответ: 22.
Решение:
Найдём равновесный объём продаж орехов до введения налога.
PR = (100 - Q) \cdot Q - Q^2 - 4Q = 96Q - 2Q^2
Это парабола с ветвями вниз, максимум в вершине:
Q = \frac{96}{2 \cdot 2} = 24
Прибыль при данном количестве положительная, 24>20, значит, Инна будет облагаться налогом. Ее прибыль в этом случае выглядит кусочно: PR = \begin{cases} (100 - Q) \cdot Q - Q^2 - 4Q, & Q \leq 20 \\ (100 - Q) \cdot Q - Q^2 - 4Q - 8Q, & Q > 20 \end{cases}
На первом участке: 100-2Q-2Q-4=0,\ Q=24>20, не подходит.
Второй участок: 100-2Q-2Q-4-8=0, \ Q=22>20, то есть подходит.
Значит, Инна будет производить 22 кг орехов.
За верный ответ – 8 баллов.