a) Уравнение КПВ – 3 балла.

Уравнение КПВ. Поскольку L_x=10\sqrt Q_x и L_y=Q_y, а совокупный запас труда в экономике равен 75, то 10\sqrt Q_x+Q_y=75. Таким образом, Q_y=75-10\sqrt Q_x. Заметим, что полученная функция является убывающей и строго выпуклой.

График – 3 балла.

б) Расчет объемов потребления – 3 балла.

Если население стремится максимизировать количество наборов, включающих по единице каждого товара, то Q_x=Q_y и, подставляя в уравнение КПВ, находим Q_y=75-10\sqrt Q_y. Решим полученное уравнение, обозначив \sqrt Q_y=a, a^2+10a-75=0, откуда a=-5+\sqrt{25+75}=5. Таким образом, Q_x=Q_y=25.

Иллюстрация на графике – 1 балл.

(в) КПВ страны ТУТ с учетом новых возможностей – 6 баллов.

Поскольку стране ТУТ доступна как ее собственная технология производства, так и альтернативная, то ее множество производственных возможностей будет объединением множеств, полученных при использовании своей и чужой технологии.

При использовании технологии страны ТАМ имеем 0,5Q_x+Q_y=75-36=39, откуда Q_y=39-0,5Q_x.

Итак, КПВ описывается условием

Q_y = \max \{39 - 0.5 Q_x, 75 - 10 \sqrt{Q_x} \}.

при b = \left(10 \pm \sqrt{100 - 72}\right) = 10 \pm \sqrt{28}. Поскольку 75-10b<0 при b>7,5, то нас интересует лишь 10-\sqrt{28}.

Итак,

Q_Y = \max \{39 - 0.5 Q_X, 75 - 10 \sqrt{Q_X}\} = \begin{cases} 75 - 10 \sqrt{Q_X}, & \text{если } Q_X \leq (10 - \sqrt{28})^2 \\ 39 - 0.5 Q_X, & \text{если } Q_X > (10 - \sqrt{28})^2 \end{cases}

(синяя кривая на графике)

График – 3 балла.

Заметим, что (10-\sqrt {28})^2<25<26.

Потребление страны ТУТ – 1 балл.

Находим новую точку потребления как пересечение новой КПВ с прямой Q_y=Q_x.

Итак, Q_x=39-0,5Q_x, откуда Q_y=Q_x=39/1,5=26, т.е. потребление каждого товара возрастает на единицу.