Страна ТУТ
В стране ТУТTYT население умеет производить лишь два товара, X и Y. При этом единственным фактором производства является труд. Запас труда (измеряемый в человеко-часах) экономики равен 75. Технология производства товара X задается функцией Q_x=(L_x/10)^2, где L_x — количество человеко-часов, используемых в производстве товара X, а Q_x — объем выпуска товара X. Технология производства товара Y задается функцией Q_y=L_y.
а) Найдите уравнение, задающее кривую производственных возможностей (КПВ) страны ТУТ, и изобразите КПВ графически.
б) Если население страны ТУТ предпочитает потреблять товары X и Y в пропорции один к одному и при это стремится максимизировать потребление подобных наборов, то какое количество каждого товара будет произведено в стране, если она не поддерживает торговые связи с другими государствами. Проиллюстрируйте решение на графике.
в) Соседняя страна ТАМ обладает другой технологией производства товара X вида Q_x=2L_x и готова поделиться своим ноу-хау со страной ТУТ при условии, что работники страны ТУТ отработают 36 человеко-часов на предприятиях страны ТАМ. Найдите и изобразите КПВ страны ТУТ с учетом новых возможностей. Как изменится потребление страны ТУТ?
a) Уравнение КПВ – 3 балла.
Уравнение КПВ. Поскольку L_x=10\sqrt Q_x и L_y=Q_y, а совокупный запас труда в экономике равен 75, то 10\sqrt Q_x+Q_y=75. Таким образом, Q_y=75-10\sqrt Q_x. Заметим, что полученная функция является убывающей и строго выпуклой.
График – 3 балла.
б) Расчет объемов потребления – 3 балла.
Если население стремится максимизировать количество наборов, включающих по единице каждого товара, то Q_x=Q_y и, подставляя в уравнение КПВ, находим Q_y=75-10\sqrt Q_y. Решим полученное уравнение, обозначив \sqrt Q_y=a, a^2+10a-75=0, откуда a=-5+\sqrt{25+75}=5. Таким образом, Q_x=Q_y=25.
Иллюстрация на графике – 1 балл.
(в) КПВ страны ТУТ с учетом новых возможностей – 6 баллов.
Поскольку стране ТУТ доступна как ее собственная технология производства, так и альтернативная, то ее множество производственных возможностей будет объединением множеств, полученных при использовании своей и чужой технологии.
При использовании технологии страны ТАМ имеем 0,5Q_x+Q_y=75-36=39, откуда Q_y=39-0,5Q_x.
Итак, КПВ описывается условием
Q_y = \max \{39 - 0.5 Q_x, 75 - 10 \sqrt{Q_x} \}.
при b = \left(10 \pm \sqrt{100 - 72}\right) = 10 \pm \sqrt{28}. Поскольку 75-10b<0 при b>7,5, то нас интересует лишь 10-\sqrt{28}.
Итак,
Q_Y = \max \{39 - 0.5 Q_X, 75 - 10 \sqrt{Q_X}\} = \begin{cases} 75 - 10 \sqrt{Q_X}, & \text{если } Q_X \leq (10 - \sqrt{28})^2 \\ 39 - 0.5 Q_X, & \text{если } Q_X > (10 - \sqrt{28})^2 \end{cases}
(синяя кривая на графике)
График – 3 балла.
Заметим, что (10-\sqrt {28})^2<25<26.
Потребление страны ТУТ – 1 балл.
Находим новую точку потребления как пересечение новой КПВ с прямой Q_y=Q_x.
Итак, Q_x=39-0,5Q_x, откуда Q_y=Q_x=39/1,5=26, т.е. потребление каждого товара возрастает на единицу.