Неравенство в Сиграде
Жителей города Сиград можно разделить на равных по численности групп так, чтобы в каждой группе у всех был равный доход. При этом люди из разных групп тоже могут получать одинаковый доход. Известно, что самая бедная группа жителей получает доходов всего населения, а самая богатая –– . При каком минимально возможное значение коэффициента Джини в городе Сиград будет минимальным? Найдите это значение.
Для начала определим, при каких условие может быть выполнено. Обратим внимание, что на "средние" группы населения осталась доля всех доходов. Доля дохода каждой из "средних" групп не может быть меньше или больше . ( балл)
Если , то "средняя" группа получает всех доходов –– это невозможно.
: в среднем "средние" группы получают долю всех доходов. Это не противоречит условию.
: в среднем они получают . Такое возможно.
И так далее, пока . Получим, что может принимать любые целые значения от до . Тот же результат можно было получить, просто перебрав все до и указав, что дальнейший перебор нецелесообразен, так как вычисленная доля будет всё меньше. ( балла)
Теперь поймём, когда при каждом неравенство доходов (то есть коэффициент Джини) минимально. Так как неизвестны доли доходов только средних групп населения, то для минимального неравенства их доходы должны быть равны, иначе, перераспределив доход от более богатой группы населения к более бедной, можно будет снизить неравенство. ( балла) Тогда для любого население можно разделить на группы –– самая бедная с долей населения , средняя с долей населения и богатая с долей населения . ( балл)
Тогда коэффициент Джини, из его геометрического смысла, можно посчитать по формуле:
( балла за подсчет коэффициента Джини любым способом)
Функция возрастает по ( балл), а значит, выберем наименьшее из доступных, . ( балл)
При этом коэффициент Джини составит . ( балл)
Ответ: при коэффициент Джини составит .