S039
Первобытное племя Бинго-Бонго из года в год выращивает единственную культуру – топинамбур. Для этой цели племя ежегодно изготавливает некоторое количество деревянных мотыг. Для производства мотыг, в свою очередь, племя изготавливает каменные топоры. Будем считать, что мотыги и топоры служат лишь в течение того сельскохозяйственного года, в пределах которого они были произведены.
Годовой фонд рабочего времени племени составляет 300 человеко-дней. Для изготовления одного каменного топора требуется 50 человеко-дней. Производство мотыг описывается функцией: M=A*L_M, где A – количество топоров, использованное для изготовления мотыг, L_M – объем труда в человеко-днях, затраченный на изготовление мотыг. Общее количество клубней топинамбура, выращенное племенем, выражается функцией: T=M*L_T, где L_T – объем труда в человеко-днях, непосредственно затраченный на выращивание топинамбура.
Какое максимальное количество клубней топинамбура сможет вырастить племя за год?
L_T = 300 - 50A - L_M = 300 - 50A - \frac{M}{A}. \quad T = M * L_T = M \left( 300 - 50A - \frac{M}{A} \right) = 300M - 50AM - \frac{M^2}{A}.
Максимум этой функции достигается при условии, что ее частные производные будут равны нулю:
\begin{cases} \frac{\partial T}{\partial M} = 300 - 50A - \frac{2M}{A} = 0 \\ \frac{\partial T}{\partial A} = -50M + \frac{M^2}{A^2} = 0 \implies -50 + \frac{M}{A^2} = 0, \; M = 50A^2. \end{cases}
Подставим это значение M в первое уравнение: 300 - 50A - \frac{100A^2}{A} = 0. \; A = 2.
M = 50A^2 = 200. \; T = 300M - 50AM - \frac{M^2}{A} = 20 \, 000.
Ответ: 20\,000 клубней.