Сложение квадратичных КПВ

а) Найдем, как нужно разделить обязанности племен по добыче 3 единиц мяса, чтобы в итоге количество собранных плодов было максимальным, то есть решим задачу

y_1 + y_2 = 6 - \frac{x_1^2}{2} - \frac{x_2^2}{8} \to max

при условии x_1 + x_2 = 3 , а также x_1 \in [0; 2] ,  x_2 \in [0; 4].

Подставляя в целевую функцию x_2 = 3 - x_1 , получаем задачу

 6 - \frac{x_1^2}{2} - \frac{(3 - x_1)^2}{8} \to max

При этом найти максимум этой функции надо на отрезке [0;2], так как первое племя не может добыть больше 2 единиц мяса.

Кроме того, точку x_1^* = 1/3 можно получить, приравнивая производную целевой функции к нулю, или, что эквивалентно, приравнивая альтернативные издержки производства для двух племен. Для первого племени альтернативные издержки равны (4 - x_1^2/2)' = 2x_1, для второго — (-x_2^2/8)' = x_2/4.

б) Теперь нужно решить задачу:

y_1 + y_2 = 6 - \frac{x_1^2}{2} - \frac{x_2^2}{8} \to max

при условии  x_1 + x_2 = 5 , x_1 \in [0; 2], x_2 \in [0; 4]. Аналогично пункту а), получаем задачу:

6 - \frac{x_1^2}{2} - \frac{(5 - x_1)^2}{8} \to max

Второе племя не может добыть больше 4 единиц мяса. Значит, первому племени надо будет добыть минимум одну единицу мяса. Таким образом, максимум этой функции мы будем искать на отрезке [1; 2]. Вершиной данной параболы с ветвями вниз является точка x_1 = 5/9 \approx 1 , и значит, максимум будет достигаться на краю отрезка, в точке x_1^* = 1 . Второе племя произведет все оставшиеся четыре единицы, а количество собранных плодов будет равно 3.

Тот же ответ можно получить, если оптимизировать по x_2 функцию 6 - (5 - x_2)^2/8. Оптимизировать нужно на отрезке [3; 4]; x_2 = 3 в силу ограничения на общее количество мяса и x_1 = 2 .

Кроме того, решение x_1^* = 1 можно получить, если заметить, что производная целевой функции 6 - x_1^2/2 - (5 - x_1)^2/8 отрицательна на отрезке [1; 2], или, что эквивалентно, для любого альтернативные издержки добычи мяса первым племенем в точке x_1 больше, чем альтернативные издержки мяса вторым племенем в точке x_2 = 5 - x_1.

в) КПВ есть что иное, как график функции, показывающей, какое максимальное новое количество плодов можно произвести, если всего требуется произвести X единиц икса. Две точки на КПВ острова мы знаем — (3;5) и (5;3). Теперь осталось найти остальные, решив эту задачу максимизации уже для произвольного значения X, то есть

Y = y_1 + y_2 = 6 - \frac{x_1^2}{2} - \frac{(X - x_1)^2}{8} \to max

при условии x_1 + x_2 = X, x_1 \in [0; 2], x_2 \in [0; 4]. Ясно, что X \in [0; 6].

Переходя к оптимизации по одной переменной, получаем задачу

6 - \frac{x_1^2}{2} - \frac{(X - x_1)^2}{8} \to max, где X — параметр.

Если X \leq 4, эту задачу надо решать на отрезке [0; 2] — для любого x_1 \in [0; 2], второе племя сможет произвести X - x_1. Если же X > 4, x_1 \in [0; 4], так как первое племя должно будет произвести минимум X - 4 единицы мяса.

Нетрудно определить, что вершина параболы с ветвями вниз 6 - \frac{x_1^2}{2} - \frac{(X - x_1)^2}{8} находится в точке x_1 = X/9.

Случай 1. X \leq 4, и поэтому x_1 \in [0; 2]. X/9 принадлежит этому отрезку для любого  X \leq 4, а значит, x_1^*(X) = X/9 будет решением задачи. Тогда Y = 6 - (X/9)^2 = (8X)/9^2 = 6 - X^2/9.

Случай 2. X \in [4; 6], и поэтому x_1 \in [X - 4; 2]. X/9 принадлежит этому отрезку при X/9 \leq 4, или X \leq 4.5. Значит, решением будет

x_1^*(X) = \begin{cases} X/9, X \leq 4.5; \\ X - 4, X > 4.5. \end{cases}

Действительно, если вершина параболы с ветвями вниз лежит левее допустимого отрезка, оптимум достигается в левом конце отрезка. При X > 4.5 максимальное количество собранных плодов будет равно

Y = 4 - (X - 4)^2 + 0 = 4 - (X - 4)^2.

Обобщая, получаем, что КПВ острова задается уравнением

Y = \begin{cases} 6 - X^2/9, X \leq 4.5; \\ 4 - (X - 4)^2, X > 4.5. \end{cases}

Тот же ответ можно получить, оптимизируя по x_2 и обобщая анализ в пунктах а) и б). При X \leq 2 максимизация по x_1 нужно проводить на отрезке [0; 4], а при x_2 \geq 4 — на отрезке X - 2; 4. Граничное значение X = 4.5 определяется из условия 8X/9 = 4.

Кроме того, решить пункт можно с помощью производной или анализа альтернативных издержек. При X \leq 4.5 является допустимым распределение (x_1, x_2), при котором производная целевой функции равна нулю (альтернативные издержки двух племен равны). Поскольку альтернативные издержки обоих племен возрастают, производная целевой функции убывает, и значит, это точка максимума. При X > 4 это распределение не является допустимым, так как 8X/9 > 4. При оптимизации по x_1 производная целевой функции отрицательна на отрезке [X - 4; 2], и альтернативные издержки второго племени в точке X - x_1 = 1, и поэтому оптимальным является минимальное значение x_1, то есть X - 4.

Примечание 1: КПВ острова имеет вид:

Можно показать, что излома в точке (4.5, 3.75) нет, наклон КПВ как при приближении слева, так и при приближении справа к этой точке стремится к единице. Поясните, почему так происходит.

Примечание 2: В данном случае альтернативные издержки не являются постоянными и стремятся к нулю для малых значений x_1 для обоих племен. Поэтому найти суммарную КПВ методом определения «порядка», в котором племена должны производить x (как в случае, если хотя бы одна из двух КПВ является линейной), не представляется возможным. Тем не менее, найденное решение отражает то, что альтернативные издержки производства Икса для первого племени растут быстрее (то есть оно «в целом хуже» производит Икс). Действительно, при X < 4.5 при оптимальном распределении производства первое племя производит лишь одну девятую общего объема, а второе — восемь девятых. И лишь когда производственных возможностей второго племени становится недостаточно, доля Икса, произведенного первым племенем, меняет порядок.