Зайцы и общественное благо
Жили-были n зайцев. Узнали они как-то о существовании хорошего учебника по экономике и решили попросить знакомого деда Мазая, чтобы он купил учебник и прочитал его вслух (сами они читать не умеют, но слушают очень чутко, благо уши длинные). Учебник продаётся в лесном магазине за C рублей. i -й заяц получает от учебника полезность, эквивалентную u_i рублям. Известно, что любое u_i>0. Дед Мазай был бы рад купить учебник, пусть даже за свой счёт, но только в том случае, если это будет общественно эффективным, то есть \sum_{i=1}^{n} u_i > C. Проблема в том, что u_i – частная информация i-го зайца (все остальные зайцы и дед Мазай знают лишь то, что u_i>0 ). Если просто спросить "Чему равно твоё u_i ?", то все назовут не настоящее своё u_i, а какое-нибудь несусветно большое число (обозначим то, что они называют, v_i ) – чтобы сделать побольше вероятность того, что \sum_{i=1}^{n} v_i > C, и учебник, таким образом, будет куплен; всё равно ведь платит дед. Если же, к примеру, объявить, что затраты на покупку учебника будут разделены пропорционально названным v_i, то у каждого зайца будет стимул занизить свою полезность, чтобы заплатить поменьше, так что в итоге сумма названных полезностей \sum_{i=1}^{n} v_i может оказаться меньше C (и учебник, таким образом, не будет куплен), даже если сумма истинных полезностей \sum_{i=1}^{n} u_i больше C.
Дед Мазай придумал следующий механизм, который, как ему кажется, заставит каждого зайца сообщить свою истинную полезность. Каждый заяц называет v_i (он может назвать любое число больше 0); учебник покупается, если \sum_{i=1}^{n} v_i > C. Назовём i -го зайца решающим, если исключение его из рассмотрения приводит к тому, что меняется решение о покупке учебника. Так вот, каждый решающий заяц i платит деду P_i = C - \sum_{j \neq i} v_j, где \sum_{j \neq i} v_j – сумма по всем зайцам (не только решающим), кроме i -го. Не решающие зайцы ничего не платят.
а) Всегда ли существует хоть один решающий заяц?
б) Могут ли все зайцы быть решающими?
в) Верно ли, что для любого решающего зайца 0 \leq P_i \leq v_i ?
г) Прав ли дед в том, что любой заяц назовёт v_i = u_i ?
д) Может ли быть так, что собранных денег не хватит, чтобы купить учебник?
е) Может ли быть так, что собранных денег будет больше, чем стоимость учебника?
Ответы:
а. нет
б. да
в. да
г. да
д. да
е. нет
Решение пункта г)
Рассмотрим i -го зайца и будем рассуждать от его лица.
Будем в качестве исходной ситуации рассматривать v_i=u_i и смотреть, что будет, если завысить или занизить v_i.
Обозначим T = \sum_{i=1}^{n} v_i (от слова total), R = \sum_{j \neq i} v_j (от слова rest), U_i — моя итоговая полезность. U_i=u_i \cdot I (учебник покупается) - P_i \cdot I (я решающий)
Разделим все случаи на две группы: в исходной ситуации я решающий или нет.
1) В исходной ситуации я не решающий. Это возможно в двух случаях: T \leq C или R > C
1а) T \leq C
В этом случае исходное U_i = 0.
Если занизить, ничего не изменится.
Если завысить так, что по-прежнему будет T \leq C, то ничего не изменится.
Если завысить так, что я стану решающим, то буду платить C-R, тогда U_i = T - R - (C - R) \leq 0 , т.е. полезность или упадёт (в случае T < C ), или не изменится (в случае T = C ).
1б) R>C
При любом v_i учебник покупается, я плачу ноль. Т.е. завышение или занижение ничего не изменит.
2) В исходной ситуации я решающий. Т.е. R < C < T
Тогда U_i = T - R - (C - R) = T - C > 0
Если завысить, ничего не изменится.
Если занизить чуть-чуть, ничего не изменится.
Если занизить так, что учебник перестанет покупаться, то получу U_i = 0 — т.е. станет хуже.
Таким образом, ни в одном из возможных случаев заяц не смог бы повысить свою полезность, отклонившись от стратегии "говорить правду", и в некоторых случаях такое отклонение может привести к снижению полезности; при этом заяц, когда принимает решение, не знает, в каком из случаев он окажется (т.к. это зависит от v_j остальных зайцев, которые ненаблюдаемы). Поэтому при любых разумных предположениях о том, как устроены предпочтения зайца с учётом неопределённости, в этих условиях для него будет оптимально выбрать стратегию "говорить правду".