Зайцы и общественное благо
Жили-были зайцев. Узнали они как-то о существовании хорошего учебника по экономике и решили попросить знакомого деда Мазая, чтобы он купил учебник и прочитал его вслух (сами они читать не умеют, но слушают очень чутко, благо уши длинные). Учебник продаётся в лесном магазине за рублей. -й заяц получает от учебника полезность, эквивалентную рублям. Известно, что любое . Дед Мазай был бы рад купить учебник, пусть даже за свой счёт, но только в том случае, если это будет общественно эффективным, то есть . Проблема в том, что – частная информация i-го зайца (все остальные зайцы и дед Мазай знают лишь то, что ). Если просто спросить "Чему равно твоё ?", то все назовут не настоящее своё , а какое-нибудь несусветно большое число (обозначим то, что они называют, ) – чтобы сделать побольше вероятность того, что , и учебник, таким образом, будет куплен; всё равно ведь платит дед. Если же, к примеру, объявить, что затраты на покупку учебника будут разделены пропорционально названным , то у каждого зайца будет стимул занизить свою полезность, чтобы заплатить поменьше, так что в итоге сумма названных полезностей может оказаться меньше (и учебник, таким образом, не будет куплен), даже если сумма истинных полезностей больше .
Дед Мазай придумал следующий механизм, который, как ему кажется, заставит каждого зайца сообщить свою истинную полезность. Каждый заяц называет (он может назвать любое число больше 0); учебник покупается, если . Назовём -го зайца решающим, если исключение его из рассмотрения приводит к тому, что меняется решение о покупке учебника. Так вот, каждый решающий заяц платит деду , где – сумма по всем зайцам (не только решающим), кроме -го. Не решающие зайцы ничего не платят.
а) Всегда ли существует хоть один решающий заяц?
б) Могут ли все зайцы быть решающими?
в) Верно ли, что для любого решающего зайца ?
г) Прав ли дед в том, что любой заяц назовёт ?
д) Может ли быть так, что собранных денег не хватит, чтобы купить учебник?
е) Может ли быть так, что собранных денег будет больше, чем стоимость учебника?
Ответы:
а. нет
б. да
в. да
г. да
д. да
е. нет
Решение пункта г)
Рассмотрим -го зайца и будем рассуждать от его лица.
Будем в качестве исходной ситуации рассматривать и смотреть, что будет, если завысить или занизить .
Обозначим (от слова total), (от слова rest), — моя итоговая полезность. (учебник покупается) - (я решающий)
Разделим все случаи на две группы: в исходной ситуации я решающий или нет.
- В исходной ситуации я не решающий. Это возможно в двух случаях: или
1а)
В этом случае исходное .
Если занизить, ничего не изменится.
Если завысить так, что по-прежнему будет , то ничего не изменится.
Если завысить так, что я стану решающим, то буду платить , тогда , т.е. полезность или упадёт (в случае ), или не изменится (в случае ).
1б)
При любом учебник покупается, я плачу ноль. Т.е. завышение или занижение ничего не изменит.
- В исходной ситуации я решающий. Т.е.
Тогда
Если завысить, ничего не изменится.
Если занизить чуть-чуть, ничего не изменится.
Если занизить так, что учебник перестанет покупаться, то получу — т.е. станет хуже.
Таким образом, ни в одном из возможных случаев заяц не смог бы повысить свою полезность, отклонившись от стратегии "говорить правду", и в некоторых случаях такое отклонение может привести к снижению полезности; при этом заяц, когда принимает решение, не знает, в каком из случаев он окажется (т.к. это зависит от остальных зайцев, которые ненаблюдаемы). Поэтому при любых разумных предположениях о том, как устроены предпочтения зайца с учётом неопределённости, в этих условиях для него будет оптимально выбрать стратегию "говорить правду".