Жили-были n зайцев. Узнали они как-то о существовании хорошего учебника по экономике и решили попросить знакомого деда Мазая, чтобы он купил учебник и прочитал его вслух (сами они читать не умеют, но слушают очень чутко, благо уши длинные). Учебник продаётся в лесном магазине за C рублей. i -й заяц получает от учебника полезность, эквивалентную u_i рублям. Известно, что любое u_i>0. Дед Мазай был бы рад купить учебник, пусть даже за свой счёт, но только в том случае, если это будет общественно эффективным, то есть \sum_{i=1}^{n} u_i > C. Проблема в том, что u_i – частная информация i-го зайца (все остальные зайцы и дед Мазай знают лишь то, что u_i>0 ). Если просто спросить "Чему равно твоё u_i ?", то все назовут не настоящее своё u_i, а какое-нибудь несусветно большое число (обозначим то, что они называют, v_i ) – чтобы сделать побольше вероятность того, что \sum_{i=1}^{n} v_i > C, и учебник, таким образом, будет куплен; всё равно ведь платит дед. Если же, к примеру, объявить, что затраты на покупку учебника будут разделены пропорционально названным v_i, то у каждого зайца будет стимул занизить свою полезность, чтобы заплатить поменьше, так что в итоге сумма названных полезностей \sum_{i=1}^{n} v_i может оказаться меньше C (и учебник, таким образом, не будет куплен), даже если сумма истинных полезностей \sum_{i=1}^{n} u_i больше C.

Дед Мазай придумал следующий механизм, который, как ему кажется, заставит каждого зайца сообщить свою истинную полезность. Каждый заяц называет v_i (он может назвать любое число больше 0); учебник покупается, если \sum_{i=1}^{n} v_i > C. Назовём i -го зайца решающим, если исключение его из рассмотрения приводит к тому, что меняется решение о покупке учебника. Так вот, каждый решающий заяц i платит деду P_i = C - \sum_{j \neq i} v_j, где \sum_{j \neq i} v_j – сумма по всем зайцам (не только решающим), кроме i -го. Не решающие зайцы ничего не платят.

а) Всегда ли существует хоть один решающий заяц?

б) Могут ли все зайцы быть решающими?

в) Верно ли, что для любого решающего зайца 0 \leq P_i \leq v_i ?

г) Прав ли дед в том, что любой заяц назовёт v_i = u_i ?

д) Может ли быть так, что собранных денег не хватит, чтобы купить учебник?

е) Может ли быть так, что собранных денег будет больше, чем стоимость учебника?