Репрезентация предпочтений
Рассмотрим множество наборов (x, y,z), где x, y и z – количества благ X, Y, Z соответственно. Также рассмотрим множество функций полезности u=P(x, y, z), являющихся многочленами от переменных x, y, z.
Пусть о предпочтениях некоторого индивида известно, что
(2, 1, 1) \prec (0, 2, 2) \prec (2, 0, 2) \prec (2, 2, 0) \prec (2, 2, 2).
Можно ли такие предпочтения представить (репрезентировать) с помощью функции полезности, являющейся многочленом...
(a) ...первой степени: degP(x,y,z)=1 ?
(b) ...второй степени: degP(x, y, z)=2 ?
Пояснение. Запись вида V\prec W обозначает, что набор W для индивида предпочтительнее, чем набор V.
Ответ:
(a) Нельзя.
(b) Можно.
Подсказка:
(a) В общем виде имеем u=ax+by+cz+d. Запишите неравенства, соответствующие данной цепочке предпочтений.
(b) В общем виде имеем u = a_0x^2 + b_0y^2 + c_0z^2 + Cxy + Bxz + Ayz + ax + by + cz + d.
Используйте метод неопределённых коэффициентов. Кстати, если положить, скажем, что a_0=b_0=c_0=c=d=0, то останется записать и решить систему из пяти линейных уравнений с пятью неизвестными: C, B, A, a, b.