А) Вполне логично, что при маленьком кол-ве рабочих затруднено разделение труда, повышающее производительность труда, значит, при определенном числе рабочих средняя производительность AP_L=\frac{Q}{L} возрастает, а точнее до L=15, затем до L=21 средняя производительность падает (выгода от каждого следующего работника всё меньше), но эффект от увеличения кол-ва рабочих оказывается сильнее, поэтому выпуск возрастает по L, но так как ценность каждого следующего нанятого работника всё меньше при большем кол-ве нанятых рано или поздно первый эффект должен перевешивать второй, и поэтому выпуск должен падать.

Б) При максимизации прибыли при каждой заработной плате, приравнивая производную к нулю, получим, что w=MRP_L, откуда получаются два корня уравнения. При меньшем предельный продукт труда в денежном выражении оказывается меньше, чем доход рабочего, то есть его труд себя не окупает (точка локального минимума прибыли), значит оптимум либо при w=0, либо во второй точке пересечения w и MRP_L, где предельная прибыль так же равно 0, но меняет знак с "+" на "-", но прибыль может оказаться отрицательной.

Также воспользуемся тем, что MRP_L пересекает ARP_L в точке максимума (попробуйте доказать самостоятельно и соотнесите с док-вом ниже) при числе рабочих равном, и больше при меньших L, а w=MRP_L в предполагаемой точке максимума прибыли. Отсюда следует, что спрос фирмы на труд – это участок MRP_L\leq ARP_L ( TR_L\geq TC_L, то есть прибыль в предполагаемом оптимуме становится неотрицательна)

Док-во: ARP_L'L = \left( \frac{TR}{L} \right)' L = \frac{TR'L \cdot L - TR}{L^2} = 0 \rightarrow MRP_L = ARP_L в точке, где производная ARP_L равна 0 (если оба продукта линейны, то пересечение при L=0, а производная отрицательна, но это так же максимум), то есть это локальный максимум, потому что при меньших L MRP_L>ARP_L, исходя из вида канонической производственной функции.

В нашем случае получаем, что W^d = 200(21 + 20L - L^2), \ 21 \geq L \geq 15, а меньше 15 рабочих фирма нанимать не будет. Задача профсоюза –максимизировать общий фонд оплаты труда, то есть W^d(L)*L. При максимизации получаем, что

L^* = \frac{20 + \sqrt{463}}{3} < \frac{20 + \sqrt{484}}{3} = \frac{42}{3} = 14, но фирма не нанимает меньше 15 работников, а при больших 15 значениях L (W^d*L) убывает, значит оптимально выбрать ближайшее доступное L, то есть 15.

Ответ: L=15, w=19200.