Смекалистый профсоюз.
Чайная "China" на Китай-городе готовит чай для своих посетителей. В среднем один заказ приносит фирме 200 рублей. Все издержки, кроме оплаты труда, включены в эту сумму.
Если фирма наймет L единиц труда, то выполнит 21L + 10L^2 - \frac{1}{3}L^3, \ L \leq 30 заказов, а больше 30 работников просто не смогут комфортно работать в помещении. Чайная воспринимает заработную плату как заданную, а профсоюз максимизирует фонд оплаты труда, зная спрос фирмы на труд. Считайте, что если фирма получает нулевую прибыль, то все равно работает.
А) Объясните, почему производственная функция может иметь такой вид.
Б) Найдите количество работников и заработную плату в равновесии.
А) Вполне логично, что при маленьком кол-ве рабочих затруднено разделение труда, повышающее производительность труда, значит, при определенном числе рабочих средняя производительность AP_L=\frac{Q}{L} возрастает, а точнее до L=15, затем до L=21 средняя производительность падает (выгода от каждого следующего работника всё меньше), но эффект от увеличения кол-ва рабочих оказывается сильнее, поэтому выпуск возрастает по L, но так как ценность каждого следующего нанятого работника всё меньше при большем кол-ве нанятых рано или поздно первый эффект должен перевешивать второй, и поэтому выпуск должен падать.
Б) При максимизации прибыли при каждой заработной плате, приравнивая производную к нулю, получим, что w=MRP_L, откуда получаются два корня уравнения. При меньшем предельный продукт труда в денежном выражении оказывается меньше, чем доход рабочего, то есть его труд себя не окупает (точка локального минимума прибыли), значит оптимум либо при w=0, либо во второй точке пересечения w и MRP_L, где предельная прибыль так же равно 0, но меняет знак с "+" на "-", но прибыль может оказаться отрицательной.
Также воспользуемся тем, что MRP_L пересекает ARP_L в точке максимума (попробуйте доказать самостоятельно и соотнесите с док-вом ниже) при числе рабочих равном, и больше при меньших L, а w=MRP_L в предполагаемой точке максимума прибыли. Отсюда следует, что спрос фирмы на труд – это участок MRP_L\leq ARP_L ( TR_L\geq TC_L, то есть прибыль в предполагаемом оптимуме становится неотрицательна)
Док-во: ARP_L'L = \left( \frac{TR}{L} \right)' L = \frac{TR'L \cdot L - TR}{L^2} = 0 \rightarrow MRP_L = ARP_L в точке, где производная ARP_L равна 0 (если оба продукта линейны, то пересечение при L=0, а производная отрицательна, но это так же максимум), то есть это локальный максимум, потому что при меньших L MRP_L>ARP_L, исходя из вида канонической производственной функции.
В нашем случае получаем, что W^d = 200(21 + 20L - L^2), \ 21 \geq L \geq 15, а меньше 15 рабочих фирма нанимать не будет. Задача профсоюза –максимизировать общий фонд оплаты труда, то есть W^d(L)*L. При максимизации получаем, что
L^* = \frac{20 + \sqrt{463}}{3} < \frac{20 + \sqrt{484}}{3} = \frac{42}{3} = 14, но фирма не нанимает меньше 15 работников, а при больших 15 значениях L (W^d*L) убывает, значит оптимально выбрать ближайшее доступное L, то есть 15.
Ответ: L=15, w=19200.