Задача 4. МЭ ПОШ – 2019 (10-11 класс)
В Средиземье есть два города на разных берегах одной известной реки. Давайте назовем один городом Солнца, а второй городом Луны. В городе Солнца живет 20 \ 000 человек и 10 \ 000 эльфов. Люди - неплохие ремесленники, поэтому каждый человек в неделю зарабатывает 10 золотых монет. Однако ни один человек не может сравниться с умением эльфов делать доспехи и оружие. Каждый эльф в неделю продает товаров на 30 золотых монет. Других доходов представители обеих групп не имеют.
В городе Луны живут бывшие люди и бывшие эльфы. Бывшие люди зарабатывают грабежом близлежащих территорий. Каждый бывший человек грабит 40 золотых в неделю (важно заметить, что бывшие люди не грабят жителей города Солнца и города Луны). В то же время бывшие эльфы довольно медлительны, поэтому с соседних территорий им удается награбить только 10 золотых в неделю, зато они хитры и успешно обворовывают эльфов из города Солнца. Каждый бывший эльф утаскивает по 10 золотых в неделю у эльфов из города Солнца. Всего в городе Луны живет 10 \ 000 бывших эльфов и 5 \ 000 бывших людей.
а) Нарисуйте кривую Лоренца для каждого города и посчитайте коэффициент Джини.
\\ (Максимальный балл - 4 )
В первую очередь запишем следующую таблицу для города Солнца: \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Название группы} & \text{Средний доход} & \text{Население} & \text{Общий доход} & \text{Доля в населении} & \text{Доля в доходе} \\ \hline \text{Люди} & 10 & 20000 & 200000 & 2/3 & 1/2 \\ \hline \text{Эльфы} & 20 & 10000 & 200000 & 1/3 & 1/2 \\ \hline \end{array}
Многие совершали ошибку при прочтении условия, и указывали неверный средний доход эльфов. Необходимо было заметить, что в городе Луны есть группа бывших эльфов, которые воруют каждый по 10 золотых монет у эльфов из города Солнца. \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Название группы} & \text{Средний доход} & \text{Население} & \text{Общий доход} & \text{Доля в населении} & \text{Доля в доходе} \\ \hline \text{Бывшие люди} & 40 & 5000 & 200000 & 1/3 & 1/2 \\ \hline \text{Бывшие эльфы} & 20 & 10000 & 200000 & 2/3 & 1/2 \\ \hline \end{array}
Заметим, что кривая Лоренца для обеих стран будет одинаковой:
Коэффициент Джини будет одинаковым для обоих городов. Посчитать его можно как две площади между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца:
G = 2S = 1 - 2\left[\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right] = \frac{1}{6}
За подсчет коэффициента Джини в каждой стране можно было получить ( +2 балла) за каждую. Баллы за использование формулы G=x-y не снимались, однако, составители олимпиады просят участников обратить внимание, что на некоторых олимпиадах эту формулу могут не разрешить использовать без доказательства, поэтому мы советуем всегда считать коэффициент Джини через отношение соответствующих площадей.
б) В регионе случилась война с проникновением на вражескую территорию и маленьким извержением вулкана в конце. В результате города объединились в единое государство, в котором численность каждой группы не изменилась по сравнению с состоянием до войны. Жители города Луны перестали воровать и начали зарабатывать столько же сколько в стародавние времена (бывшие люди теперь зарабатывают столько же сколько и средний человек, аналогичное верно и для бывших эльфов). Удалось ли в результате войны сократить коэффициент Джини всего региона (состоящего только из этих двух городов).
Запишем все данные доступные из условия. Для всего региона до войны:\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Название группы} & \text{Средний доход} & \text{Население} & \text{Общий доход} & \text{Доля в населении} & \text{Доля в доходе} \\ \hline \text{Люди} & 10 & 20000 & 200000 & 4/9 & 1/4 \\ \hline \text{Эльфы} & 20 & 10000 & 200000 & 2/9 & 1/4 \\ \hline \text{Бывшие люди} & 40 & 5000 & 200000 & 1/9 & 1/4 \\ \hline \text{Бывшие эльфы} & 20 & 10000 & 200000 & 2/9 & 1/4 \\ \hline \end{array}
после войны:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Название группы} & \text{Средний доход} & \text{Население} & \text{Общий доход} & \text{Доля в населении} & \text{Доля в доходе} \\ \hline \text{Люди} & 10 & 25000 & 250000 & 5/9 & 5/17 \\ \hline \text{Эльфы} & 30 & 20000 & 600000 & 4/9 & 12/17 \\ \hline \end{array}
Для подсчета коэффициента Джини до войны замечу, что эльфы и бывшие эльфы могут быть определены в одну группу, так как их средний доход равен. Тогда кривая Лоренца имеет вид:
А коэффициент Джини можно посчитать через площадь:
G_{before} = 2S = 1 - 2[\frac{1}{4} \times \frac{8}{9} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{4} \times \frac{4}{9} + \frac{7}{8} \times \frac{1}{9}] = \frac{1}{4}
За правильный подсчет коэффициента Джини до войны ставилось ( +3 балла). За арифметическую ошибку снимался один балл. В данной задаче решение через таблицу также приводило к снижению итоговой оценки на 1 балл, так как данный метод нельзя использовать без обоснования на олимпиадах.
Можно изобразить кривую Лоренца для региона после войны:
Коэффициент Джини будет одинаковым для обеих городов. Посчитать его можно как две площади между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца:
G_{after} = 25 = 1 - 2 \left[ \frac{1}{2} \times \frac{5}{9} \times \frac{5}{17} + \frac{22}{17} \times \frac{2}{9} \right] = 1 - \frac{5}{9} \times \frac{5}{17} - \frac{22}{17} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{153}
За правильный подсчет коэффициента Джини до войны ставилось ( +3 балла). За арифметическую ошибку снимался 1 балл.
Примечание: Многие участники считали, что коэффициент Джини в регионе до войны составлял 1/6. Это неверно, так как коэффициент Джини в каждом городе не отражает коэффициент Джини всего региона.
После всего этого следовало в явном виде сравнить коэффициенты Джини до и после войны:
\frac{1}{4} < \frac{40}{153}
А значит в результате войны коэффициент Джини увеличился. За это сравнение участник получал ( +1 балл).