Хитрый жрец
Однажды в далёком Египте были жадный жрец и праведный мудрец. И фараон, пообщавшись с мудрецом, настолько проникся его мудростью, что приказал своему жрецу выдать награду мудрецу.
А) Жрец положил в горшочков монеты, причём в первом была монета, во две монеты и т.д. И случайным образом распределил все горшочки по кругу, пригласив мудреца в его центр. Условия, по которым мудрец получает награду, следующие:
-
Мудрец случайным образом выбирает один из горшочков
-
И затем забирает те горшочки, в которых монет меньше, чем в его выбранном горшочке и сам выбранный горшочек.
Пример: если мудрец выбрал горшочек с монетами, то забирает горшочки, где есть монет, то есть его награда равна монетам.
Однако жрец был очень жадный и решил оставить себе побольше денег. И он решил убрать один из горшочков стоящих в кругу, зная, что мудрец не очень внимателен.
Какой горшочек ему надо убрать, чтобы максимизировать свой выигрыш и соответственно минимизировать награду мудреца? Предположим что жрец ориентируется на матожидание награды.
Б) Пусть правила "игры" между жрецом и мудрецом не изменились, за исключением одного: пусть жрец в каждый горшочек положил произвольное число монет, НО в никаких двух горшочках не лежит одинаковое число монет.
Как изменится ответ на вопрос из предыдущего пункта?
В) А что, если бы жрец одурманил мудреца перед входом в храм, и тот бы практически ослеп, что позволило бы жрецу убрать не один, а , горшочков. Расположение монет такое же как в пункте A). Найдите, какие горшочки надо убрать жрецу, для каждого .
Г) Решите пункт B), если бы монеты располагались так же, как в пункте Б)
Ответ
А) Пронумеруем все горшочки от до в соответствии с количеством монет, которые в них лежат. Очевидным кажется решение, через то, что если жрец убирает горшочек с номером , то мудрец недополучает сумму (по сравнению со случаем, когда все горшочки на месте)
так как горшочек с номером мог бы доставаться мудрецу в случаях из . Относительно это парабола с ветвями вниз, максимум в вершине где —целая часть при делении на . Однако, к сожалению, такое решение не является правильным, и я предлагаю посетителям сайта понять самим, почему.
Примечание:
Если вы сможете понять в чём ошибочность рассуждений "очевидного" решения пункта а), то это приблизит вас к ответу на остальные три пункта.