Торговля на две страны
В одной стране один и тот же товар потребляется и производится только в двух регионах. При этом в каждом регионе работает один-единственный производитель этого товара. Экономисты аналитики установили, что перевозка стоит одинаково: по 5 ден.ед. за каждую единицу данного товара в любую сторону, и, что обе фирмы конкурируют по выпускам, выбирая их одновременно. Помимо этого, они выявили следующие зависимости цен, объёмов производства и ввоза от ставок потоварного налога на потребление в каждом регионе ( t_a – ставка налога на единицу товара в регионе A, t_b – ставка налога на единицу товара в регионе B ).
Примечание: аналитики утверждают, что полученные ими зависимости верны только для положительных значений производства и ввоза.
А) ( 20 баллов) Найдите функции спроса в каждом регионе и функции предельных издержек у каждой фирмы. Исходите из предположения, что вид любой из этих четырёх функций не меняется при неотрицательных количествах.
Нахождение спросов ( 10 баллов всего)
Спрос в регионе A : Q_{da} = q_1 + Im_a – Im_b = 22 - \frac{t_a}{5} - \frac{t_b}{30} + 17 - \frac{11\cdot t_a}{30} - \frac{t_b}{30} - (6 + \frac{t_a}{15} - \frac{4\cdot t_b}{15}) = 33 - \frac{19\cdot t_a}{30} + \frac{t_b}{30} ( 2 балла)
Спрос в регионе B : Q_{db} = q_2 – Im_b + Im_a = 34 - \frac{2\cdot t_a}{5} - \frac{2\cdot t_b}{5} - (17 - \frac{11\cdot t_a}{30} - \frac{t_b}{30}) + 6 + \frac{t_a}{15} + \frac{4\cdot t_b}{15} = 23 - \frac{19\cdot t_b}{30} + \frac{t_a}{30} ( 2 балла)
Вариант 1 : Можно заметить, что Q_{da}+P_a=60 и Q_{db}+P_b=45, это и есть спросы
Вариант 2 : Выражаем t_a и t_b через P_a и P_b и подставляем в Q_{da} и Q_{db}. Например
\frac{t_b}{30} = 27 + \frac{19 \cdot t_a}{30} - P_a
Q_{da} = 33 - \frac{19 \cdot t_a}{30} + \frac{t_b}{30} = 33 - \frac{19 \cdot t_a}{30} + 27 + \frac{19 \cdot t_a}{30} - P_a = 60 - P_a
За верный подход к поиску спросов 4 балла. За каждую найденную функцию спроса 1 балл.
Если спросы найдены с ошибкой без вычета импорта в другой регион, то снимаются баллы, только 4 балла за выражение величин спроса от ставок налогов.
Если линейность спроса предполагалась, но не выводилась, то 3 балла следует вычесть из 6 баллов за нахождение спросов.
Нахождение MC ( 10 баллов всего)
Pr_1 = (P_a - t_a) \cdot q_{1a} + (P_b - t_b - 5) \cdot Im_b - TC (Im_b + q_{1a}) \to \text{max по } q_{1a} \text{ и } Im_b
Pr_2 = (P_a - t_a -5 ) \cdot Im_a + (P_b - t_b) \cdot q_{1 b} - TC (Im_a + q_{1 b}) \to \text{max по } q_{1 b} \text{ и } Im_a
MR1a = 60 - 2 \cdot q_{1 a} - t_a – Im_a = MC1(Im_b + q_{1 a}) = MR1b = 45 - 2 \cdot Im_b - t_b - 5 - q_{2 b} ( 2 балла)
MR2a = 60 - 2 \cdot Im_a - t_a - 5 - q_{1 a} = MC2(Im_a + q_{2 b}) = MR2b = 45 - 2 \cdot q_{2 b} - t_b – Im_b ( 2 балла)
Выражаем MC через t_a и t_b
MC_1 = 45 - 2 \cdot Im_b - t_b - 5 - q_{2 b} = 45 - 2 \cdot \left(6 + \frac{t_a}{15} - \frac{4 \cdot t_b}{15}\right) - t_b - 5 - (q_2 – Im_a) = 28 - \frac{2 \cdot t_a}{15} - \frac{7 \cdot t_b}{15} - \left( 34 - \frac{2 \cdot t_a}{5} - 2 \cdot t_b - \left( 17 - \frac{11 \cdot t_a}{30} - \frac{t_b}{30} \right) \right) = 11 - \frac{t_a}{10} - \frac{t_b}{10}
q_1 = 22 - \frac{t_a}{5} - \frac{t_b}{5}
\frac{t_a}{5} = 22 - q_1 - \frac{t_b}{5}
MC_1 = 11 - \frac{t_a}{10} - \frac{t_b}{10} = 11 - \left( 11 - \frac{q_1}{2} - \frac{t_b}{10} \right) - \frac{t_b}{10} = \frac{q_1}{2}
MC_2 = 45 - 2 \cdot q_{2b} - t_b – Im_b = 45 - 2 \cdot q_{2b} - t_b – Im_b = 45 - 2 \cdot \left( 34 - \frac{2 \cdot t_a}{5} - \frac{2 \cdot t_b}{5} - \left( 17 - \frac{11 \cdot t_a}{30} - \frac{t_b}{30} \right) \right) - t_b - \left( 6 + \frac{t_a}{15} - \frac{4 \cdot t_b}{15} \right) = 5 (при любом значении q_2 ).
За верный подход к поиску MC \ 4 балла. За каждую найденную функцию MC \ 1 балл. Если MC найдены с ошибкой без вычета импорта в другой регион, то снимаются только 4 балла за выражение величин спроса от ставок налогов. Если линейность MC предполагалась, но не выводилась, то 3 балла следует вычесть из 6 баллов за нахождение MC.
Б) ( 20 баллов) Найдите объемы производства в обоих регионах, которые бы максимизировали сумму излишков потребителей и прибылей фирм. Приведите качественное объяснение полученного результата. Приведите один пример мер государственного регулирования, при помощи которых можно было бы добиться таких значений объёмов производства.
Вариант 1 : Максимальное благосостояние общества достигается при P_d=MC ( 2 балла)
При этом следует выбирать производство на том предприятии, где будут достигаться минимальные TC с учётом и транспортных издержек ( 4 балла за такое или эквивалентное
рассуждение). Тогда в силу симметрии издержек на доставку в первом регионе будет произведено q_1/2=5+5=>q_1=20, а весь остальной выпуск будет произведён во втором регионе ( 6 баллов за такое или эквивалентное рассуждение).
MC (для рынка A при оптимальном выпуске) =10 ( 2 балла)
MC (для рынка B при оптимальном выпуске) =5 ( 2 балла)
P_{da}=10 \quad Q_{da}=60-10=50 \quad P_{db}=5 \quad Q_{db}=45-5=40
q_1=20 ( 1 балл) q_2=Q_{da}+Q_{db}-q_1=70 ( 1 балл)
Вариант 2 :
SW = CS_a + CS_b + PS1 + PS2 = \frac{Q_{da}^2}{2} + \frac{Q_{db}^2}{2} + (60 – Q_{da}) \cdot Q_{da} + (45 – Q_{db}) \cdot Q_{db} - 5 \cdot Im_a - 5 \cdot Im_b - \frac{q_1^2}{4} - 5 \cdot q_2 = 60 \cdot Q_{da} - \frac{Q_{da}^2}{2} + 45 \cdot Q_{db} - \frac{Q_{db}^2}{2} - 5 \cdot Im_a - 5 \cdot Im_b - \frac{(Q_{da} – Im_a + Im_b)^2}{4} - 5 \cdot (Q_{db} – Im_a + Im_b) = 60 \cdot Q_{da} - \frac{Q_{da}^2}{2} + 40 \cdot Q_{db} - \frac{Q_{db}^2}{2} - 10 \cdot Im_b - \frac{(Q_{da} – Im_a + Im_b)^2}{4} \rightarrow \text{max по } Q_{di}, Im_i
Верная запись излишков потребителей по 1 баллу, излишков производителей по 2 балла
Очевидно, что от импорта в регион B благосостояние падает, поэтому Im_b=0 ( 6 баллов)
SW = 60 \cdot Q_{da} - 3 \cdot \frac{Q_{da}^2}{4} + 40 \cdot Q_{db} - \frac{Q_{db}^2}{2} - \frac{Im_a^2}{4} + \frac{Q_{da} \cdot Im_a}{2}
ЭПВВН по Q_{qb}=>Q_{qb}=40
Аналогично по другим переменным: Q_{da}=50 ( 1 балл) Im_a=30 ( 1 балл)
q_1=Q_{da}-Im_a=20 ( 1 балл) q_2=Q_{da}+Q_{db}-q_1=70 ( 1 балл)
Если использовались неправильные спросы или MC из п. А), то баллы в п. Б) не снимаются, а решение проверяется при ошибочно найденных спросах и MC. Данная оговорка не действует в двух случаях: 1) спросы с положительным наклоном 2) отсутствуют издержки, кроме транспортных. В последних двух случаях может быть оценено только утверждение, что P_d=MC ( 2 балла)
Пример регулирования: ввести потолки цен P_{da}=10 и P_{db}=5 ( 4 балла)
Если не приведено конкретных значений параметров регулирования, то ставится 0 баллов.