Богатые и бедные
В каждой из двух стран можно выделить две однородные группы населения: бедные, наиболее многочисленные и наименее обеспеченные, и богатые, малочисленные и владеющие большей частью дохода страны. Неравенство в стране A в 2 раза выше, чем неравенство в стране B. Доля дохода бедных в стране A в 3 раза меньше, чем в стране B, а доля группы бедных в стране A в 2 раза меньше, чем доля группы бедных в стране B. Степень неравенства оценивается с помощью индекса Джини.
Найдите тангенс угла наклона нижнего участка кривой Лоренца, построенной для страны A.
В случае, когда есть две однородные группы, кривая Лоренца выглядит так:
Вопрос задачи заключается в том, чтобы найти тангенс угла, обозначенного на рисунке как \varphi. На рисунке x – это доля бедных, а y – это доля доходов бедных.
Сначала поясним, как найти индекс Джини, зная долю доходов бедных и долю их численности.
Площадь под кривой Лоренца равна
0,5xy+0,5(y+1)(1-x)=0,5(y-x+1)
( 2 балла).
Площадь между кривой равномерного распределения доходов и кривой Лоренца:
0,5-0,5(y-x+1)=0,5(x-y)
( 2 балла).
Таким образом, индекс Джини равен: G = \frac{0.5(x - y)}{0.5} = x - y ( 2 балла).
По условию задачи G_A=2G_B ; y_B=3y_A ; x_B=2x_A.
Тогда \frac{x_A - y_A}{x_B - y_B} = 2 ( 2 балла).
Находим \tan \varphi = \frac{y_A}{x_A} = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2 \cdot 3 - 1} = 0.6 ( 2 балла).
Ответ:
\tan \varphi = 0.6