Задача 2 ОЧ-2018 11 класс
Кривая производственных возможностей страны A задана соотношением: x+2y=60.
КПВ страны B : 2x+y=40. Пусть страны решают торговать друг с другом в пропорции 1:1.
(а) Определите, является ли данная пропорция обмена взаимовыгодной?
(б) Задайте аналитически кривые торговых возможностей обеих стран.
Оказалось, что страна A может "купить" технологический прогресс при производстве товара x. За производство технологического прогресса отвечают нейтральные ученые, не живущие в стране A, которые кроме новых технологий ничего производить не могут. КПВ страны A с учетом "купленного" прогресса имеет вид ax+2y=60, a\in(0, 1).
(в) Задайте аналитически в зависимости от значений параметра a кривые торговых возможностей стран A и B.
Предпочтения жителей страны B устроены так, что они любят потреблять только товар x.
Обратим свое внимание отдельно на страну A. Набор товаров (x, y), который после обмена со страной B находится в распоряжении у страны A, хочет купить страна C, не желающая вести дела со страной B. Страна C платит стране A 2 у.е. за одну единицу товара x и 3 у.е. за одну единицу товара y. Соответственно, выручка страны A имеет вид u(x, y)=2x+3y.
Нейтральные ученые работают не бесплатно при производстве технологического прогресса. Суммарная стоимость их работы, которую полностью оплачивают жители страны A, если производится прогресс на уровне a, равна:
\frac{125}{a} + 20a - 145 \, \text{y.e.}
(г) Какой уровень прогресса выберут жители страны A, если их цель – максимизация дохода?
(а) Взаимовыгодный обмен находится в границах: 0,5y\leq 1*x\leq 2y. Следовательно, предлагаемая пропорция 1:1 является выгодной, причем страна A будет специализироваться на производстве товара x, а страна B - на производстве товара y.
(б) При осуществлении торговли страна A произведет 60 единиц товара x, однако обменять сможет только 40, так как страна B производит максимум 40 единиц товара y. Таким образом, КТВ страны B задается соотношением y=40-x. КТВ страны A описывается ломаной линией в связи с ограничениями на обмен:
y = \begin{cases} 50 - \frac{x}{2}, & x \in [0, 20] \\ 60 - x, & x \in [20, 60] \end{cases}
(в) В условиях технологического прогресса в стране A будут только расти производственные возможности для товара x, а обменивать страна A сможет все равно только 40 единиц, из-за ограничений по производству товара y страной B. Таким образом, КТВ страны B не изменится, а КТВ страны A будет иметь вид:
y = \begin{cases} 70 - 20a - \frac{ax}{2}, & x \in \left[0, \frac{60}{a} - 40\right] \\ \frac{60}{a} - x, & x \in \left[\frac{60}{a} - 40, \frac{60}{a}\right] \end{cases}
(г) Отметим для начала, что жители страны B в силу своих предпочтений будут согласны на любое предложение относительно обмена, так как это обеспечивает им большее количество товара x.
Максимум выручки страны A при любом значении параметра a будет достигаться в точке излома КТВ. Ее координаты \left( \frac{60}{a} - 40, 40 \right).
Отметим также, что функция издержек по производству прогресса соответствует здравому смыслу. Она возрастает при увеличении прогресса, то есть при изменении a от 1 до 0. Кроме того, она стремится к бесконечности при максимально возможном уровне прогресса, то есть при a \rightarrow 0, что отражает то, что слишком дорого бесконечно вкладываться в прогресс. Теперь найдем оптимальный уровень прогресса:
u(a) = 2\left(\frac{60}{a} - 40\right) + 3 \cdot 40 - \frac{125}{a} - 20a + 145 = \frac{120}{a} + 40 - \frac{125}{a} - 20a + 145 = 185 - \frac{5}{a} - 20a
Максимум этой функции достигается при a=0,5. Суммарная выручка при этом равна 165.