Задача 2 ОЧ-2018 11 класс
Кривая производственных возможностей страны задана соотношением: .
КПВ страны : . Пусть страны решают торговать друг с другом в пропорции .
(а) Определите, является ли данная пропорция обмена взаимовыгодной?
(б) Задайте аналитически кривые торговых возможностей обеих стран.
Оказалось, что страна может "купить" технологический прогресс при производстве товара . За производство технологического прогресса отвечают нейтральные ученые, не живущие в стране , которые кроме новых технологий ничего производить не могут. КПВ страны с учетом "купленного" прогресса имеет вид , .
(в) Задайте аналитически в зависимости от значений параметра кривые торговых возможностей стран и .
Предпочтения жителей страны устроены так, что они любят потреблять только товар .
Обратим свое внимание отдельно на страну . Набор товаров , который после обмена со страной находится в распоряжении у страны , хочет купить страна , не желающая вести дела со страной . Страна платит стране у.е. за одну единицу товара и у.е. за одну единицу товара . Соответственно, выручка страны имеет вид .
Нейтральные ученые работают не бесплатно при производстве технологического прогресса. Суммарная стоимость их работы, которую полностью оплачивают жители страны , если производится прогресс на уровне , равна:
(г) Какой уровень прогресса выберут жители страны , если их цель – максимизация дохода?
Ответ
(а) Взаимовыгодный обмен находится в границах: . Следовательно, предлагаемая пропорция является выгодной, причем страна будет специализироваться на производстве товара , а страна - на производстве товара .
(б) При осуществлении торговли страна произведет единиц товара , однако обменять сможет только , так как страна производит максимум единиц товара . Таким образом, КТВ страны задается соотношением . КТВ страны описывается ломаной линией в связи с ограничениями на обмен:
(в) В условиях технологического прогресса в стране будут только расти производственные возможности для товара , а обменивать страна сможет все равно только единиц, из-за ограничений по производству товара y страной . Таким образом, КТВ страны не изменится, а КТВ страны будет иметь вид:
(г) Отметим для начала, что жители страны в силу своих предпочтений будут согласны на любое предложение относительно обмена, так как это обеспечивает им большее количество товара .
Максимум выручки страны при любом значении параметра будет достигаться в точке излома КТВ. Ее координаты
Отметим также, что функция издержек по производству прогресса соответствует здравому смыслу. Она возрастает при увеличении прогресса, то есть при изменении от до . Кроме того, она стремится к бесконечности при максимально возможном уровне прогресса, то есть при , что отражает то, что слишком дорого бесконечно вкладываться в прогресс. Теперь найдем оптимальный уровень прогресса:
Максимум этой функции достигается при . Суммарная выручка при этом равна .