Поиграем в экономику
Робинзон Крузо в одиночку живёт на острове, питаясь рыбой и крокодилами собственного производства. Если отложить рыбу по горизонтальной оси, а крокодилов – по вертикальной, то производство (оно же потребление) в прошлом году показано точкой A. Производство/потребление в текущем году – точка B, которая пока что отсутствует на рисунке.
Робинзон решил поиграть в экономику. Сначала в микро: для каждого из двух годов он придумал цену рыбы, цену крокодилов и свой номинальный доход, и, используя эти числа, нарисовал бюджетные линии. Точка A лежит на бюджетной линии прошлого года. Ниже проходит бюджетная линия текущего года; точка B лежит где-то на ней.
Потом он занялся макроэкономикой: объявил прошлый год базовым, а текущий – текущим, и рассчитал два ценовых индекса: дефлятор ВВП и индекс потребительских цен (в потребительскую корзину, понятное дело, входят и рыба, и крокодилы). Получилось, что дефлятор больше, чем ИПЦ.
Выделите на бюджетной линии текущего года все точки, которые могут являться точкой B.
Способ 1
ИПЦ – это индекс цен Ласпейреса (с весами базового года):
L = \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i^1 q_i^0}{\sum_{i=1}^{n} p_i^0 q_i^0}
Здесь нижние индексы – номера товаров, верхние – года: 0 – базовый, 1 – текущий.
Для краткости вместо \sum_{i=1}^{n} будем писать просто \sum :
L = \frac{\sum p_i^1 q_i^0}{\sum p_i^0 q_i^0}
Дефлятор ВВП – индекс цен Пааше (с весами текущего года):
P = \frac{\sum p_i^1 q_i^1}{\sum p_i^0 q_i^1}
Проведём луч OA из начала координат. Назовём A' точку, в которой он пересекает текущую бюджетную линию. Обозначим \widetilde{L} = \frac{OA}{OA'}. Стоимость корзины A' в текущих ценах равна \sum p_i^1 q_i^0 / \widetilde{L}. Точка A' лежит на текущей бюджетной линии, поэтому она в текущих ценах стоит столько же, сколько текущая корзина – точка B. Пусть номинальные расходы в текущем году в k раз больше, чем в базовом. Тогда мы можем записать \sum p_i^1 (q_i^0 / \widetilde{L}) = k \sum p_i^0 q_i^0, откуда k \widetilde{L} = L. Если бы мы знали k, по картинке могли бы посчитать L.
Проведём через точку B, где бы она ни была, луч OB, и назовём B' точку, в которой он пересекает базовую бюджетную линию. Обозначим \widetilde{P} = \frac{OB'}{OV}. Рассуждая примерно так, как в предыдущем абзаце, убедитесь в том, что P = k \widetilde{P}. Поскольку k одно и то же, сравнить P и L – то же самое, что сравнить \widetilde{P} и \widetilde{L}. А это совсем просто: по рисунку видно, что поскольку текущая бюджетная линия круче базовой, то \widetilde{P} > \widetilde{L} тогда и только тогда, когда B лежит правее A'.
Cпособ 2
Можно просто аккуратно преобразовать неравенство P > L для двух товаров:
\frac{\sum_{i=1}^{2} p_i^1 q_i^1}{\sum_{i=1}^{2} p_i^0 q_i^1} > \frac{\sum_{i=1}^{2} p_i^1 q_i^0}{\sum_{i=1}^{2} p_i^0 q_i^0} \Longleftrightarrow \left(\frac{p_1^1}{p_1^2} - \frac{p_0^1}{p_0^2}\right)\left(\frac{q_1^1}{q_2^1} - \frac{q_0^1}{q_0^2}\right) > 0
Отсюда видно, что в случае двух товаров индекс Пааше будет больше индекса Ласпейреса тогда, когда при росте относительной цены первого товара \frac{p_1}{p_2} (бюджетная линия становится круче) мы увеличиваем относительное потребление первого товара \frac{q_1}{q_2} (луч из начала координат проходит через новую потребляемую точку более полого, чем через старую).