Решение 1. Составим функцию прибыли фирмы.

\pi(Q) = P(Q)Q - TC(Q) = \frac{16}{\sqrt{Q}}Q - 15\sqrt{Q} - 2\sqrt[4]{Q} = \sqrt{Q} - 2\sqrt[4]{Q}

.

Поскольку пол цены равен X, фирма не может продать больше, чем (16/X)^2 единиц продукции. Обозначим это количество за Q_X.

Если Q_X>256, фирма всегда может произвести 256 единиц, и получить прибыль в размере 16−2 \cdot 4=8>0. Раз мы знаем, что фирма ушла с рынка, Q_X \geq 256.

Таким образом, нам известно, что 0 является точкой максимума функции \sqrt{Q} -2 \sqrt[4]{Q} на отрезке [0;Q_X]. Найдем, при каких Q_X \geq 256 это может иметь место.

Произведем замену переменной: t=\sqrt[4]{Q}. Тогда \pi (t)=t^2−2t и t \in [0; \sqrt[4]{Q_X}]. Заметим, что графиком функции \pi(t) является парабола с ветвями вверх, и поэтому максимум этой функции на отрезке достигается в одном из концов отрезка (в вершине параболы достигается не максимум, а минимум прибыли). Таким образом, оптимальным является либо t=0, либо t=\sqrt[4]{Q_X}.

Значит, оптимальным является либо Q=0, либо Q=Q_X. Следовательно, 0 является оптимальным объемом тогда и только тогда, когда прибыль в нуле строго больше, чем в точке Q_X. (Здесь мы учли условие о том, что фирма остается на рынке при безразличии.) Получаем неравенство

0 = \pi(0) > \pi(Q x) = \sqrt{Q x} - 2\sqrt[4]{Q x}

,

откуда QX<24.

Значит, (16/X)^2<24, откуда X>4.

Ответ: X>4

Решение 2. Составим функцию прибыли фирмы:

\pi(P) = P Q(P) - TC(P) = \frac{16^2}{P} - \frac{15 \cdot 16}{P} - \frac{8}{\sqrt{P}} = \frac{16}{P} - \frac{8}{\sqrt{P}}

.

Выясним, при каких ценах прибыль отрицательна:

\pi(P) < 0 \iff 16 - 8 \sqrt{P} < 0 \iff P > 4

.

Учтем ограничение:

Q_{\text{max}} = 256 \iff P_{\text{min}} = 1

.

Заметим, что если X>4, при любой допустимой цене фирма получит отрицательную прибыль, поэтому она уйдет из отрасли. В то же время если X \leq 4, при цене P=4 прибыль фирмы равна нулю, а значит ее максимальная прибыль не меньше нуля и она останется в отрасли. Таким образом, X>4.