Пол цены для монополиста
По цене P потребители готовы купить Q(P)=(16/P)^2 единиц продукции монополиста OOO "Боярышник". Общие затраты на производство Q единиц продукции составляют 15\sqrt{Q} + 2\sqrt[4]{Q} ден. ед., а максимально возможный объем производства равен 256256 единиц. Научные исследования показали, что продукция фирмы приносит вред здоровью, и государство решило ограничить ее потребление, запретив фирме продавать товар по цене, меньшей чем X. Когда пол цены был введен, фирма прекратила производство и ушла с рынка, несмотря на то, что потребители готовы покупать ненулевое количество продукции при любой цене. Считайте, что если фирма безразлична между уходом с рынка и продолжением работы, то она продолжает работу.
Определите, какие значения может принимать X.
Решение 1. Составим функцию прибыли фирмы.
\pi(Q) = P(Q)Q - TC(Q) = \frac{16}{\sqrt{Q}}Q - 15\sqrt{Q} - 2\sqrt[4]{Q} = \sqrt{Q} - 2\sqrt[4]{Q}
.
Поскольку пол цены равен X, фирма не может продать больше, чем (16/X)^2 единиц продукции. Обозначим это количество за Q_X.
Если Q_X>256, фирма всегда может произвести 256 единиц, и получить прибыль в размере 16−2 \cdot 4=8>0. Раз мы знаем, что фирма ушла с рынка, Q_X \geq 256.
Таким образом, нам известно, что 0 является точкой максимума функции \sqrt{Q} -2 \sqrt[4]{Q} на отрезке [0;Q_X]. Найдем, при каких Q_X \geq 256 это может иметь место.
Произведем замену переменной: t=\sqrt[4]{Q}. Тогда \pi (t)=t^2−2t и t \in [0; \sqrt[4]{Q_X}]. Заметим, что графиком функции \pi(t) является парабола с ветвями вверх, и поэтому максимум этой функции на отрезке достигается в одном из концов отрезка (в вершине параболы достигается не максимум, а минимум прибыли). Таким образом, оптимальным является либо t=0, либо t=\sqrt[4]{Q_X}.
Значит, оптимальным является либо Q=0, либо Q=Q_X. Следовательно, 0 является оптимальным объемом тогда и только тогда, когда прибыль в нуле строго больше, чем в точке Q_X. (Здесь мы учли условие о том, что фирма остается на рынке при безразличии.) Получаем неравенство
0 = \pi(0) > \pi(Q x) = \sqrt{Q x} - 2\sqrt[4]{Q x}
,
откуда QX<24.
Значит, (16/X)^2<24, откуда X>4.
Ответ: X>4
Решение 2. Составим функцию прибыли фирмы:
\pi(P) = P Q(P) - TC(P) = \frac{16^2}{P} - \frac{15 \cdot 16}{P} - \frac{8}{\sqrt{P}} = \frac{16}{P} - \frac{8}{\sqrt{P}}
.
Выясним, при каких ценах прибыль отрицательна:
\pi(P) < 0 \iff 16 - 8 \sqrt{P} < 0 \iff P > 4
.
Учтем ограничение:
Q_{\text{max}} = 256 \iff P_{\text{min}} = 1
.
Заметим, что если X>4, при любой допустимой цене фирма получит отрицательную прибыль, поэтому она уйдет из отрасли. В то же время если X \leq 4, при цене P=4 прибыль фирмы равна нулю, а значит ее максимальная прибыль не меньше нуля и она останется в отрасли. Таким образом, X>4.