Пол цены для монополиста
По цене P потребители готовы купить единиц продукции монополиста OOO "Боярышник". Общие затраты на производство Q единиц продукции составляют ден. ед., а максимально возможный объем производства равен 256256 единиц. Научные исследования показали, что продукция фирмы приносит вред здоровью, и государство решило ограничить ее потребление, запретив фирме продавать товар по цене, меньшей чем X. Когда пол цены был введен, фирма прекратила производство и ушла с рынка, несмотря на то, что потребители готовы покупать ненулевое количество продукции при любой цене. Считайте, что если фирма безразлична между уходом с рынка и продолжением работы, то она продолжает работу.
Определите, какие значения может принимать X.
Ответ
Решение 1. Составим функцию прибыли фирмы.
.
Поскольку пол цены равен X, фирма не может продать больше, чем единиц продукции. Обозначим это количество за .
Если , фирма всегда может произвести 256 единиц, и получить прибыль в размере . Раз мы знаем, что фирма ушла с рынка, .
Таким образом, нам известно, что 0 является точкой максимума функции на отрезке . Найдем, при каких это может иметь место.
Произведем замену переменной: . Тогда и . Заметим, что графиком функции является парабола с ветвями вверх, и поэтому максимум этой функции на отрезке достигается в одном из концов отрезка (в вершине параболы достигается не максимум, а минимум прибыли). Таким образом, оптимальным является либо , либо .
Значит, оптимальным является либо , либо . Следовательно, 0 является оптимальным объемом тогда и только тогда, когда прибыль в нуле строго больше, чем в точке . (Здесь мы учли условие о том, что фирма остается на рынке при безразличии.) Получаем неравенство
,
откуда QX<24.
Значит, , откуда X>4.
Ответ: X>4
Решение 2. Составим функцию прибыли фирмы:
.
Выясним, при каких ценах прибыль отрицательна:
.
Учтем ограничение:
.
Заметим, что если X>4, при любой допустимой цене фирма получит отрицательную прибыль, поэтому она уйдет из отрасли. В то же время если , при цене P=4 прибыль фирмы равна нулю, а значит ее максимальная прибыль не меньше нуля и она останется в отрасли. Таким образом, X>4.