Олигополия тоже бывает оптимальной?
Две компании, A и B, добывают газ на одном и том же месторождении. Издержки каждой компании зависят как от собственного уровня производства, так и от уровня производства конкурента:
TC_A=0.25(q_A+q_B)^2+0.5(q_A)^2 и TC_B=0.25(q_A+q_B)^2+0.5(q_B)^2.
Спрос на газ описывается функцией:
Q(p)=20-p.
a) Предположим, что две фирмы являются олигополистами, которые конкурируют, независимо выбирая уровни производства. Найдите равновесие.
\Pi_1 = (20 - q_1 - q_2) q_1 - 0.25 (q_1 + q_2)^2 = (20 - 1.5 q_1) q_1 - \frac{7}{4} q_1^2 - \frac{1}{4} q_2^2 \rightarrow \max
q_1^* = \frac{4 (20 - 1.5 q_2)}{14} = \frac{40 - 3 q_2}{7}
Аналогично \Pi_2 = (20 - 1.5 q_1) q_2 - \frac{7}{4} q_2^2 - \frac{1}{4} q_1^2 \rightarrow \max
q_2^* = \frac{4 (20 - 1.5 q_1)}{14} = \frac{40 - 3 q_1}{7}
В равновесии: \begin{cases} q_1^* = \frac{40 - 3 q_2}{7} \\ q_2^* = \frac{40 - 3 q_1}{7} \end{cases}
q_1^* = q_2^* = 4
b) Как изменится ваш ответ на пункт (a), если две фирмы будут действовать как ценополучатели на рынке газа? Найдите равновесие.
Теперь \Pi_A = P q_A - 0.25 (q_A + q_B)^2 - 0.5 q_A^2 \rightarrow \max
q_A^* = \frac{2P - q_B}{3}
Аналогично q_B^* = \frac{2P - q_A}{3}
Q_s = q_A + q_B = \frac{4P - q_A - q_B}{3}
20 - P = P \Leftrightarrow P^* = 20 - P^*
Равновесие: q_A^* = q_B^* = 5
c) Рассчитайте и сравните величины потерь от неэффективности в пунктах (a) и (b). Объясните результат.
Найдём максимально возможное SW :
\Pi = \Pi_A + \Pi_B = (20 - Q) \cdot Q - 0.5 Q^2 - 0.5 q_A^2 - 0.5 q_B^2=(20 - Q) \cdot Q - 0.5 Q^2 - \frac{Q^2}{4} = 20 Q - \frac{7}{4} Q^2
SW = CS + \pi = \frac{1}{2} Q^2 + 20 Q - \frac{7}{4} Q^2 \rightarrow \max
Q^* = \frac{20}{10} \cdot 4 = 8, \text{ тогда } q_A^* = q_B^* = 4 равновесие пункта а)
Следовательно, DWL_A = 0.
В условиях пункта b): SW = \frac{20 + (20 - 10)}{2} \cdot 10 - 0.5 \cdot 10^2 = 150 - 75 = 75
DWL_B = 80 - 75 = 5
В данном случае олигополия более эффективна из-за негативной экстерналии: при большем выпуске фирмы влияют на издержки друг друга, уменьшая прибыль.
d) Возможно ли устранить потери от неэффективности (если они есть) в пункте (c) для случая (a) и/или случая (b) с помощью налогов/субсидий? Найдите необходимые налоги/субсидии или докажите, что это невозможно.
Если ввести налог по ставке t из кривых реакций пункта b) :
\begin{cases} q_1^* = \frac{2(p - t) - q_2}{3} \\ q_2^* = \frac{2(p - t) - q_1}{3} \end{cases}
В равновесии 20 - (P_s - t) = P_s, тогда P_s = 10 + \frac{t}{2}.
В SW T_X сократятся, оптимальная ситуация q=4
\begin{cases} q_1^* = \frac{2 \left( 10 - \frac{t}{2} \right) - q_2}{3} \\ q_2^* = \frac{2 \left( 10 - \frac{t}{2} \right) - q_1}{3} \end{cases}
Нужное равновесие достигается при t=4