Экономическая сила ветра
В городе есть два типа электростанций: ветровые (ВЭС) и тепловые (ТЭС). Предельные издержки для каждой ВЭС составляют MC_1(x)=0,1x, а для ТЭС — MC_2(y)=12, где x и y — количество энергии, произведенное соответствующей электростанцией. Издержки на открытие ВЭС составляют F_1=500, а для ТЭС они оцениваются как F_2=0. Если электростанция не открывается, то она не несёт никаких издержек. Других издержек у электростанций нет. Спрос на электроэнергию в городе абсолютно неэластичный и имеет вид Q=270, где Q — суммарное количество энергии. Также известно, что ВЭС не оставляет углеродного следа, а ТЭС наносят вред окружающей среде, который жители оценивают как L(y)=-y^2. Общественное благосостояние определяется только понесённым вредом для экологии, прибылью производителей и расходами на субсидирование или доходами от налогообложения.
а) ( 2 балла) Используя экономические аргументы, поясните, почему спрос на электроэнергию близок к абсолютно неэластичному.
Тяжело или практически невозможно найти субституты, нет развитых и доступных широкому кругу потребителей альтернативных источников электроэнергии.
б) ( 2 балла) Почему в контексте данной задачи, при условии абсолютно неэластичного спроса, равновесная цена 1 ед. электроэнергии не стремится к бесконечно высокой?
Электростанции конкурируют между собой, устанавливая цены ниже, чему у конкурента, с целью забрать большую долю рынка.
в) ( 7 баллов) Во всех следующих пунктах считайте, что если электростанции безразлично, открываться или нет, то она откроется. При этом сначала решение об открытии принимают ВЭС, а затем ТЭС. Также считайте, что при одинаковой стоимости энергии сначала электроэнергию покупают у ВЭС, а затем у ТЭС.
Известно, что в городе уже работает одна ВЭС. Выведите функцию предложения энергии для каждого типа электростанций. Найдите равновесие и благосостояние общества. Сколько новых ВЭС будет ещё открыто?
Зная об предельных и постоянных издержках ВЭС (ВЭС*), которая присутствует на рынке, и ТЭС, можем вывести их функции общих издержек
TC_{ВЭС^*}(x) = \frac{0{,}1x^{2}}{2}, \qquad TC_{\text{ТЭС}}(y) = 12y.
А для ВЭС, принимающих решение выходить на рынок или нет (ВЭС), функция издержек будет иметь вид
TC_{\text{ВЭС}}(x) = \begin{cases} \dfrac{0{,}1x^{2}}{2} - 500, & x > 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}
ВЭС принимают решение о выходе первыми, запишем прибыль
\pi_{\text{ВЭС}} = \begin{cases} Px - \dfrac{0{,}1x^{2}}{2} - 500, & x > 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}.
Функция прибыли ВЭС при выходе на рынок является параболой ветвями вниз относительно x, тогда оптимальное количество для ВЭС в зависимости от цены будет равно
x_{\text{ВЭС}} = \frac{P}{2*\frac{0,1}{2}} = 10P
Для того, чтобы ВЭС вышла на рынок, нужно, чтобы прибыль при выходе на рынок была больше 0.
\pi_{\text{ВЭС}} = P \cdot 10P - \frac{0{,}1(10P)^{2}}{2} - 500 > 0 \Rightarrow P \ge 10.
С другой стороны, выпуск делится между вышедшими ВЭС на рынок поровну, тогда выпуск одной ВЭС будет равен 270/n, где n — количество вышедших на рынок ВЭС, тогда P = 0{,}1 \cdot \frac{270}{n}. Запишем прибыль
\pi_{\text{ВЭС}} = 0{,}1 \left( \frac{270}{n} \right)^{2} - 0{,}05 \left( \frac{270}{n} \right)^{2} - 500 > 0 \Rightarrow n \le 2{,}7.
Следовательно, на рынок войдет еще одна ВЭС. Предложение вошедшей ВЭС:
x_{\text{ВЭС}} = \begin{cases} 0, & P < 10, \\ 10P, & P \ge 10. \end{cases}
При этом предложение первой ВЭС иное, т.к. она уже приняла решение о выходе на рынок и понесла издержки.
x_{\text{ВЭС}*} = 10P.
Далее решение о выходе принимают ТЭС. Запишем прибыль
\pi_{\text{ТЭС}} = Py - 12y = (P - 12)y.
Отсюда можем сразу вывести предложение ТЭС
y_{\text{ТЭС}} = \begin{cases} 0, & P < 12, \\ t \in [0, +\infty], & P = 12, \\ +\infty, & P > 12. \end{cases}
Запишем общее предложение электроэнергии в городе
Q = \begin{cases} 10P, & P < 10, \\ 20P, & P \in [10, 12), \\ 20P + t, & P = 12, \\ +\infty, & P > 12. \end{cases}
Если на рынке работают на данный момент две ВЭС, то тогда цена установится на уровне P = 0{,}1 \cdot \frac{270}{2} = 13{,}5 > 12, следовательно, ТЭС будут входить до того момента,
пока цена не станет равна 12. Предложение каждой ВЭС при цене 12 равно 10P, тогда суммарное предложение ВЭС будет равно 240. Остаток электроэнергии в размере 30 произведут ТЭС.
Посчитаем благосостояние общества
SW_B = \pi_{\text{ВЭС}*} + \pi_{\text{ВЭС}} + \pi_{\text{ТЭС}} - y^2 = \left( 12 \cdot 120 - \frac{0{,}1 \cdot (120)^2}{2} \right) \cdot 2 - 500 + 0 - 30^2 = 40.
г) ( 7 баллов) Администрация города оценила ожидаемый углеродный след и решила принять меры, направленные на его снижение. Было предложено ввести меру, которая будет одинаково действовать на все виды электростанций. В следующих пунктах, считайте, как и в пункте (в), что одна ВЭС уже действует, а остальные ещё находятся на этапе принятия решения и не понесли издержки на открытие.
В качестве меры по борьбе с углеродным следом государство решило ввести налог в размере t=5 д.е. за каждую произведённую единицу энергии. Чему будет равен вред, который наносят тепловые электростанции окружающей среде?
Перепишем общее предложение электроэнергии с учетом введения налога. С введением налога MC_{\text{ВЭС}} = 0{,}1x + 5, \qquad MC_{\text{ТЭС}} = 17. Перепишем прибыль ВЭС
\pi_{\text{ВЭС}} = Px - \frac{0{,}1x^{2}}{2} - 5x - 500, \quad x > 0.
Функция прибыли ВЭС при выходе на рынок является параболой ветвями вниз,
относительно x, тогда
x_{\text{ВЭС}} = 10P - 50.
Аналогично рассуждениям в предыдущем пункте выводим ограничения на цену и на количество вышедших ВЭС
P \ge 15, \quad n \le 2{,}7.
Выйдет ещё одна ВЭС с предложением
x_{\text{ВЭС}} = \begin{cases} 0, & P < 15, \\ 10P - 50, & P \ge 15. \end{cases}
Q = \begin{cases} 10 - 50P, & P < 15, \\ 20P - 100, & P \in [15, 17), \\ 20P - 100 + t, & P = 17, \\ +\infty, & P > 17. \end{cases}
Аналогично рассуждениям предыдущего пункта, на рынке только с ВЭС цена сложится в размере 18,5, на рынок начнут выходить ТЭС и опустят ее до 17. Тогда общее количество произведенной электроэнергии ВЭС будет равно 20*17-100=240, а ТЭС — 30.
Вред, наносимый окружающей среде не изменился в сравнении с пунктом (в)
L = -y^2 = -900.
д) ( 7 баллов) Экономист Василий предложил вместо налога ввести фиксированную субсидию в размере S=180 д.е. для всех электростанций. Чему будет равен вред, который наносят тепловые электростанции окружающей среде?
Запишем новую прибыль для ВЭС при выходе на рынок и по аналогии с предыдущими пунктами найдем ограничения
\pi_{\text{ВЭС}} = Px - \frac{0{,}1x^{2}}{2} - 500 + 180 = Px - \frac{0{,}1x^{2}}{2} - 320.
x_{\text{ВЭС}} = 10P \Rightarrow 10P^{2} - 0{,}05 \cdot (10P)^{2} - 320 \ge 0 \Rightarrow P \ge 8
P = 0{,}1 \cdot \frac{270}{n} \Rightarrow 0{,}1 \left( \frac{270}{n} \right)^{2} - 0{,}05 \left( \frac{270}{n} \right)^{2} - 320 \ge 0 \Rightarrow n \le 3{,}375.
Следовательно, на рынок выйдет ещё две ВЭС. Тогда P = 0{,}1 \cdot \frac{270}{3} = 9 > 8, \quad \frac{270}{3} = 90, тогда весь спрос будет покрываться тремя ВЭС, а ТЭС не будут производить электроэнергию, так как получившаяся цена меньше 12. Вред окружающей среде равен 0.