S018

График функции предложения выходит из начала координат, при этом он проходит через точку (32;16). Поэтому Q_s=2P.

Пусть функция спроса имеет вид: Q_d=a-bP. Учитывая, что при P=16, Q=32, можно записать: 32=a-b*16. Отсюда a=32+16b.

Кстати. Если вы на данном этапе решения, желая сократить число неизвестных, сразу подставите это соотношение в формулы для Q, P и t, то впоследствии вас ожидают крупные неприятности. Вы получите практически нерешаемое уравнение. Это такая ловушка, заботливо расставленная для вас автором задачи. Обойти ее почти невозможно. Зато вы получите огромное, неоценимое интеллектуальное наслаждение, выбираясь из нее.

Максимальная выручка, которая может быть получена на данном рынке: R_0 = \frac{a}{2b} * \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4b}.

Как мы знаем, максимальная сумма налоговых поступлений, которая может быть получена при линейных функциях спроса и предложения, будет в любом случае одной и той же – независимо от того, для кого вводится налог – для покупателей или продавцов. Предположим, для продавцов введен потоварный налог t. Новая функция предложения: Q_{s1}=2(P-t).

Условие равновесия на рынке: a - bP = 2(P - t). \quad P = \frac{a + 2t}{2 + b}.

Равновесный объем: Q = Q_{s_1} = 2(P - t) = 2 \left( \frac{a + 2t}{2 + b} - t \right).

Общая сумма налоговых поступлений: T = Q t = 2 \left( \frac{a t + 2t^2}{2 + b} - t^2 \right). T' = 2 \left( \frac{a + 4t}{2 + b} - 2t \right) = 0, \quad t = \frac{a}{2b}.

Максимум налоговых поступлений: T_{\text{max}} = Q \, t = 2 \, \frac{a}{2b} \left( \frac{a + \frac{a}{b}}{2 + b} - \frac{a}{2b} \right) = \frac{a^2}{2b(2 + b)}.

По условию задачи: T_{max} = 0,8 R_0. \frac{a^2}{2b(2 + b)} = 0{,}8 \, \frac{a^2}{4b}. \quad b = 0{,}5. \quad a = 32 + 16b = 40.

Ответ. Q_d = 40 – 0,5P; Q_s = 2P.