Буквально вертикальная интеграция
Восхождение на Пик Ленина состоит из нескольких этапов. Сначала из базового лагеря нужно подняться в первый лагерь, а затем из первого во второй. Из второго лагеря можно предпринять попытку штурма вершины. Спортивные альпинисты проходят весь этот путь самостоятельно, транспортируя все необходимое снаряжение и продукты на себе. Однако менее профессиональные восходители могут воспользоваться услугами носильщиков, которые готовы за умеренную плату доставлять палатки и другое необходимое оборудование из лагеря в лагерь.
Спрос на услуги носильщиков, транспортирующих грузы из базового лагеря в первый, имеет вид: q_1=110-p_1, где p_1 — цена транспортировки одного центнера грузов, q_1 — количество центнеров груза, транспортируемое из базового лагеря в первый. Спрос на услуги носильщиков, транспортирующих грузы из первого лагеря во второй, имеет вид: q_2=q_1-p_2. Предельные издержки транспортировки одного центнера грузов из базового лагеря в первый постоянны и равны 10. Предельные издержки транспортировки одного центнера грузов из первого лагеря во второй постоянны и равны 20. Считайте, что постоянные издержки транспортировки во всех случаях отсутствуют.
а) ( 6 баллов) Найдите объемы транспортировки грузов между каждой соседней парой лагерей для следующих ситуаций:
1. Рынки транспортировки грузов между любой соседней парой лагерей являются совершенно конкурентными.
2. Все носильщики, транспортирующие грузы из базового лагеря в первый, объединились в компанию «База»; все носильщики, транспортирующие грузы из первого лагеря во второй, объединились в компанию «Штурм». Каждая компания является монополистом на своём участке маршрута и максимизирует свою прибыль, не думая о другой компании. Сначала объем выбирает «База», затем «Штурм».
3. Все носильщики объединились и образовали вертикально интегрированный холдинг «Вершина». Компания максимизирует прибыль от транспортировки грузов между всеми лагерями.
Рассмотрим три случая.
1. Совершенная конкуренция (СК):
На каждом рынке в совершенно конкурентном равновесии выполнено соотношение p=MC.
p_1 = 10 \quad\Longrightarrow\quad q_1 = 110 - 10 = \boxed{100}, \qquad p_2 = 20 \quad\Longrightarrow\quad q_2 = q_1 - p_2 = 100 - 20 = \boxed{80}.
2. Две независимые монополии:
Заметим, что решение, принятое «Штурмом», никак не влияет на оптимальный выбор «Базы».
\pi_1 = (p_1 - MC_1)q_1 = (110 - q_1 - 10)q_1 = (100 - q_1)q_1.
Это парабола ветвями вниз, ее максимум лежит в вершине:
q_1^\star = \frac{100}{2} = \boxed{50}.
«Штурм», обладая полной информацией, понимает, что q_1=50.
\pi_2 = (p_2 - MC_2)q_2 = (50 - q_2 - 20)q_2 = (30 - q_2)q_2,
Это парабола ветвями вниз, ее максимум лежит в вершине:
q_2^\star = \frac{30}{2} = \boxed{15}.
3. Вертикально интегрированный холдинг:
Совместная прибыль имеет вид
\Pi = (100 - q_1)q_1 + (q_1 - q_2 - 20)q_2 = -q_2^{2} + (q_1 - 20)q_2 + 100 q_1 - q_1^{2}.
При каждом фиксированном q_1 это парабола ветвями вниз относительно q_2, ее максимум лежит в вершине, если она доступна, и в нуле в противном случае:
q_2^{\star} = \begin{cases} 0, & q_1 \le 20,\\[6pt] \dfrac{q_1 - 20}{2}, & q_1 \ge 20. \end{cases}
Можем подставить эту зависимость обратно в функцию прибыли и свести задачу оптимизации к максимизации функции одной переменной.
\Pi= \begin{cases} 100q_1 - q_1^2, & q_1 \le 20,\\[6pt] \dfrac{(q_1-20)^2}{4} + 100q_1 - q_1^2, & q_1 \ge 20, \end{cases} = \begin{cases} 100q_1 - q_1^2, & q_1 \le 20,\\[6pt] -\tfrac{3}{4}q_1^2 + 90q_1 + 100, & q_1 \ge 20. \end{cases}
На каждом из участков график этой функции –– парабола ветвями вниз, а значит оптимум на каждом участке достигается в вершине соответствующей параболы, если она доступна, и на границе в противном случае.
На первом участке вершина недоступна, поэтому оптимум достигается при q_1=20. На втором участке вершина q_1=\frac{90}{6/4}=60 доступна. Значит, в силу непрерывности функции прибыли, оптимум всей функции достигается при q_1^*=\boxed{60} и q_2^*=\frac{q_1^*-20}{2}=\boxed{20}.
б) ( 3 балла) Рассчитайте суммарное общественное благосостояние для каждой из трех ситуаций выше. В какой из этих ситуаций суммарное общественное благосостояние выше, чем в двух других?
Заметим, что верны следующие соотношения:
CS_1=\frac{q_1^{2}}{2},\qquad CS_2=\frac{q_2^{2}}{2},\quad SW=CS_1+CS_2+\Pi - S,
Здесь CS_i –– излишек потребителя на i -ом рынке, \Pi –– суммарная прибыль всех фирм на рынке, S –– суммарный объем выданной государством субсидии (это число отрицательно в случае введения налога, а в данном пункте равно 0, поскольку государство не вмешивается в рынок), SW –– общественное благосостояние.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Сценарий} & q_1 & q_2 & CS_1 & CS_2 & \Pi & SW \\ \hline \text{1. СК} & 100 & 80 & 5000 & 3200 & 0 & 8200 \\ \hline \text{2. Монополии}& 50 & 15 & 1250 & 112.5 & 2725 & 4087.5\\ \hline \text{3. Холдинг} & 60 & 20 & 1800 & 200 & 2800 & 4800 \\ \hline \end{array}
Наибольшее SW из трёх сценариев даёт совершенная конкуренция.
в) ( 1 балл) Может ли государство увеличить благосостояние по сравнению с лучшей из трех ситуаций выше, вводя налоги или субсидии? Почему? Ответьте без расчетов, приведя содержательное экономическое объяснение.
Да, может. Первый рынок создаёт положительный внешний эффект –– экстерналию: каждый дополнительный центнер, доставленный в первый лагерь, увеличивает потенциальный спрос на втором участке, но совершенно-конкурентные носильщики этого не учитывают. Субсидия от государства, введенная для носильщиков на первом рынке, увеличит объем положительной экстерналии и приведет к росту общественного благосостояния.
г) ( 2 балла) Рассмотрим случай 2 из пункта а). Предположим, что вы владелец компании «База». Коллеги из компании «Штурм» предлагают вам организовать вертикально интегрированный холдинг «Вершина» и всю полученную холдингом прибыль делить поровну. Следует ли вам соглашаться? Если нет, то можете ли вы предложить пример такого дележа суммарной прибыли холдинга, чтобы в интеграции были заинтересованы и вы, и владельцы компании «Штурм»?
В сценарии 2 :
\pi_{\text{База}} = 2500,\qquad \pi_{\text{Штурм}} = 225.
После интеграции (сценарий 3 ) общая прибыль \Pi=2800. Равный делёж (1400:1400) ухудшает положение «Базы» (1400<2500), поэтому соглашаться невыгодно.
Для взаимной выгоды необходимо
\pi_{\text{База}}\ge 2500,\qquad \pi_{\text{Штурм}}\ge 225,\qquad \pi_{\text{База}}+\pi_{\text{Штурм}}=2800.
Любое распределение, например
\pi_{\text{База}}=2525,\qquad \pi_{\text{Штурм}}=275.
даёт обеим компаниям положительный прирост в прибыли и делает интеграцию привлекательной.