Задание 14. МЭ ВСоШ 2024 (10 класс)
Всесильное существо Янос отвечает за пропитание в Московском княжестве. Оно способно создавать поля, которые можно засеять либо пшеницей (x), либо рожью (y). Известно, что КПВ каждого поля имеет вид y=20-x. Однако создание полей происходит за некоторую плату – для сотворения n полей Янос должен пожертвовать рожью в размере n^2. Например, если Янос решил сделать 2 поля, то он автоматически забирает с этих полей 4 единицы ржи (то есть поля будут обязаны сделать 4 единицы ржи, которые будут потом недоступны). Известно, что жители княжества питаются странными кашами: для одной каши нужна одна единица ржи и одна единица пшеницы. Сколько максимум каш сможет сделать Янос?
Ответ: 50.
Решение:
Предположим, что Янос сделал n полей, тогда суммарная КПВ на них равна:
y=20n-x-n^2
Пропорция, в которой потребляются пшеница и рожь, 1 к 1. Значит, в уравнение КПВ можно подставить y=x, тогда
x=20n-x-n^2
x=\frac{20n-n^2}{2}
Чтобы максимизировать количество каш, нужно найти максимум этой функции, это парабола с ветвями вниз, значит, максимум достигается в вершине, при n=10.
Тогда x=\frac{20*10-10^2}{2}=50, это и есть максимальное число каш.
За верный ответ – 8 баллов.