Задание 14. МЭ ВСоШ 2024 (10 класс)
Всесильное существо Янос отвечает за пропитание в Московском княжестве. Оно способно создавать поля, которые можно засеять либо пшеницей , либо рожью . Известно, что КПВ каждого поля имеет вид . Однако создание полей происходит за некоторую плату – для сотворения полей Янос должен пожертвовать рожью в размере . Например, если Янос решил сделать поля, то он автоматически забирает с этих полей единицы ржи (то есть поля будут обязаны сделать единицы ржи, которые будут потом недоступны). Известно, что жители княжества питаются странными кашами: для одной каши нужна одна единица ржи и одна единица пшеницы. Сколько максимум каш сможет сделать Янос?
Ответ: .
Решение:
Предположим, что Янос сделал полей, тогда суммарная КПВ на них равна:
Пропорция, в которой потребляются пшеница и рожь, к . Значит, в уравнение КПВ можно подставить , тогда
Чтобы максимизировать количество каш, нужно найти максимум этой функции, это парабола с ветвями вниз, значит, максимум достигается в вершине, при .
Тогда , это и есть максимальное число каш.
За верный ответ – баллов.