Составители задач-2
Есть два составителя задач по экономике для муниципального этапа : и . может составить задач для -го класса или задач для -го класса.
может составить задач для -го класса или задач для -го класса. Альтернативные издержки составления задач постоянны, задач может быть составлено нецелое число.
) Какое наибольшее суммарное количество задач могут составить и ?
) Перед и поставлена цель: составить задач для -го класса и задач для -го класса. Смогут ли они справиться с этой нелёгкой работой?
) Так получилось, что устал и не стал составлять задачи для олимпиады.
должен в одиночку составить все задания. Известно, что на рынке олимпиадных задач есть агент . Он готов обменять у одну олимпиадную задачу для -го класса на одну задачу для -го класса. Укажите на графике все возможные комбинации задач для -го и -го классов, которые составитель может получить.
Ответ
) Заметим, что составитель , составляя одну задачу для -го класса, отказывается от составления двух задач для -го. То есть для максимизации количества задач ему следует делать лишь задачи для -го класса.
Аналогичным образом рассуждая, получим, что следует составлять только задачи для -го класса. Тогда получим, что наибольшее число возможных задач равно . ( балла).
) Да, они справятся с поставленной целью. Составителю следует сделать задач для -го класса, а составитель должен сделать одну задачу для -го класса и задач для -го. Покажем, что каждый из них справится с этой работой. Для составителя в условии указано, что он может справиться с составлением задач для девятиклассников.
Для составителя КПВ задаётся уравнением . Где – задачи для
-го класса, – для -го. Подставим . Получим . То есть составитель
может сделать одну задачу для -го класса и задач для -го. Другими словами, и задач для -го он запросто сделает ( балла).
) может обменивать одну задачу для -го класса на одну задачу для - го класса. То есть ему выгодно произвести задач для -го класса и обменивать их все.
График при этом выглядит следующим образом (серая область – достижимые количества соответствующих задач, а чёрной линией отмечено первоначальное ограничение составителя ):
