(а) [5 баллов] Рассмотрим прибыль фирмы до вмешательства государства.

П = PQ − 10Q = (100 − Q)Q − 10Q = (90 − Q)Q

Так как фирма является монополистом, то она может выбирать цену, поэтому можно подставить спрос в прибыль. Максимум прибыли достигается при Q = 45 в вершине параболы ветвями вниз. Тогда прибыль фирмы в оптимуме равна 452. На рынке установится цена 55. Благосостояние состоит из излишка потребителей, прибыли фирмы, изменения государственных доходов/расходов, а также ущерба от выбросов.

SW = CS + П + \Delta G + L

Посчитаем излишек потребителей.

Откуда CS = 45² / 2. Изменение государственных расходов/доходов равны 0. Потери от выбросов −1,5 \times 45². Получим, что SW = 45²/2 + 45² + 0 − 1,5 \times 45² = 0.

(б) [14 баллов]

- Рассмотрим последствия введения налога t. Прибыль фирмы будет равна

П = PQ − 10Q − tQ = (100 − Q)Q − 10Q − tQ = (90 − t − Q)Q

Максимум прибыли достигается при Q = (90−t) / 2 в вершине параболы ветвями вниз. Тогда прибыль фирмы в оптимуме равна:

\pi = \frac{(90 − t)^2}{4}

На рынке установится цена P = (110+t) / 2.

Потребительский излишек: CS = \frac{1}{2} \times \frac{90 - t}{2} \times \left(100 - \frac{110 + t}{2}\right) = \frac{(90 - t)^2}{8}..

Доходы государства от налогообложения: \Delta G = \frac{90t - t^2}{2}.

Потери, вызванные выбросами: L = -1.5 \times \frac{(90 - t)^2}{4}. Получаем благосостояние:

SW = \frac{(90 - t)^2}{8} + \frac{(90 - t)^2}{4} + \frac{90t - t^2}{2} - 1.5 \times \frac{(90 - t)^2}{4}.

Заметим, что благосостояние зависит только от налоговых сборов. Однако будет ошибкой изначально считать, что государство максимизирует налоговые сборы. Максмимум достигается в вершине параболы ветвями вниз при t* = 45. Тогда благосостояние будет равно SW = 45² / 2.

-Рассмотрим установку сооружений. Сооружения приобретает государство и тратит на это |\Delta G| = | − 60X|. Заметим, что если государство обяжет фирму платить за данные сооружения, то благосостояние никак не поменяется. Таким образом, неважно, кто в итоге тратит деньги на сооружения. Решение фирмы будет таким же, как и в пункте а, соответсвенно, прибыль и излишек потребителей не изменятся. Сооружения поглащают выбросы, а значит потери от выбросов уменьшатся и составят L = -1.5 \times (45 - 4X)^2. Запишем благосостояние.

SW = \frac{45^2}{2} + 45X - 60X - 1.5 \times (45 - 4X)^2 = -24X^2 + 480X = 24(20X - X^2).

Максимум благосостояния достигается при X* = 10 в вершине параболы ветвями вниз. Получаем, что максимальное благосостояние в этим случае равно 2400. Во втором случае благосостояние больше 2400 > 45² / 2. Государство выберет второй вариант

(в) [6 баллов] Возможные варианты ответа.

- Введение максимально возможного уровня производства угля ниже 45. Данная мера приведет к уменьшению выбросов, при этом никак не повлияв на доходы/расходы государства.

- Введение потолка цен ниже 55, приведет к снижению объемов производства, что в свою очередь приведет к уменьшению выбросов. При этом расходы/доходы государства не изменятся.

- Государство может передать права на контроль за выбросами частной организации, которая следит за экологией. И уже эта организация может продавать квоты на количество выбросов или обязать фирму платить за каждую произведенную тонну угля, а потом тратить эти деньги на улучшение экологии.