Типовая КПВ.
После вымирания всех экономистов в стране остались лишь следующие данные о КПВ: это кусочно-линейная непрерывная функция, которая имеет больше двух участков. Если бы страна вела себя максимально эффективно, торгуя на мировом рынке при обменном курсе 1 икс за n игреков, то полученные комплекты от торговли (из 1 единицы y и a единиц икса) задавались бы так:
\Delta k = \begin{cases} \frac{80 - 60n}{2 + n} \\ \frac{40 - 20n}{2 + n} \\ \frac{40n - 120}{2 + n} \end{cases}
А) Найдите a, то есть обменную пропорцию.
Б) Восстановите уравнение кривой производственных возможностей.
Предположим, что у КПВ три участка, тогда КТВ можно провести через 4 точки и пересечь с линией комплектов, задав это четырьмя разными функциями от соотношения цен. С добавлением n участков в КПВ можно получить всего на n больше таких КТВ, но даже в случае с тремя можно получить три возможных КТВ только в том случае, если находясь в одной из точек специализации, мы ничего не выиграем, а такое возможно только если линия комплектов пересекает КПВ в ней, назовём эту точку K.
Так как в записи КТВ есть два выражения, которые положительны и убывают при определённых n, эти точки находятся левее точки K, иначе от увеличения n кол-во комплектов увеличивалось бы. Значит, линия комплектов пересекает КПВ в третьей точке специализации, считая сверху.
Первое и второе выражение обозначают КТВ проведённое из точки полной специализации на Y и следующей. При n=1 комплекты равны, значит наклон первого участка -1, иначе бы КТВ шли параллельно и в одном случае комплектов было бы больше, при 2\geq n\geq 1 второе выражение больше первого, значит оно обозначает комплекты от торговли на втором участке, потому что это КТВ находится выше.
Проведем КТВ из точки максимального Y. Y = \bar{a} - nx = ax, где b – пропорция комплектов Y = \frac{\bar{a}}{a + n}.
А) Тогда количество полученных комплектов – это то же выражение минус какое-то число, а в знаменателе по-прежнему останется a+n=2+n, откуда a=2.
Б) выделим целую часть и получим \Delta k=\frac{200}{2+n}-60, значит верхняя точка – 200, а кол-во комплектов без торговли – 60, то есть первый участок это 200-x и второй излом при Y=2x=120. Теперь приравняем выигрыш на втором участке к нулю, то есть найдём наклон этого участка 40-20n=0, значит n=2. Проделаем то же самое с третьим участком получим, что его наклон – 3. Осталось только восстановить две прямых, зная точку, через которую они проходят и наклон.
Получим: Y = \begin{cases} 200 - X, & 0 \leq X < 40, \\ 240 - 2X, & 40 \leq X < 60, \\ 300 - 3X, & 60 \leq X < 100. \end{cases}
Ответ:
А) a=2
Б) смотрите чуть выше