S002
Однажды Клара задолжала Карлу 8 001 953 125 8 001 953 125 марок. Вместо того чтобы выплатить эту сумму немедленно, Клара предложила Карлу следующим образом реструктурировать долг: через год она заплатит ему N миллиардов марок ( N – целое число миллиардов), еще через год – сумму, равную (N-1) миллиардов, еще через год – (N-2) миллиардов и так далее. Таким образом, последний платеж по долгу составит ровно один миллиард марок.
Карл напомнил Кларе, что сегодня в их стране, в условиях нестабильной экономической ситуации, ставка процента составляет 100\% годовых, поэтому по предложенной ею схеме реструктуризации долга придется возвращать очень большие суммы. Где она найдет столько денег? «Не твое дело, – грубо ответила Клара. – Женщина всегда найдет способ, как заработать». На том и порешили. Определите величину N (сумму первого платежа), а также число лет, в течение которого Клара будет выплачивать долг.
Для того чтобы упростить расчеты, предположим, что единица (1) – это один миллиард марок. Очевидно, что в соответствии с предложенной Кларой схемой последний платеж будет совершен через N лет.
8,001 953 125 = PV = \frac{N}{2} + \frac{N-1}{2^2} + \frac{N-2}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^N}.
Представим величину PV следующим образом: PV \left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^{N-2}} + \frac{1}{2^{N-1}} + \frac{1}{2^N} = \frac{0.5(1 - 0.5^N)}{1 - 0.5} = 1 - 0.5^N, \\ &\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^{N-2}} + \frac{1}{2^{N-1}} = \frac{0.5(1 - 0.5^{N-1})}{1 - 0.5} = 1 - 0.5^{N-1}, \\ &\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^{N-2}} = \frac{0.5(1 - 0.5^{N-2})}{1 - 0.5} = 1 - 0.5^{N-2}, \\ &\dots \\ &\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} = \frac{0.5(1 - 0.5^2)}{1 - 0.5} = 1 - 0.5^2, \\ &\frac{1}{2} = \frac{0.5(1 - 0.5)}{1 - 0.5} = 1 - 0.5. \end{aligned} \right.
Здесь и далее используется формула суммы N членов геометрической прогрессии:
S_N = \frac{b_1(1 - q^N)}{1 - q}.
PV = (1 - 0.5) + (1 - 0.5^2) + \dots + (1 - 0.5^{N-2}) + (1 - 0.5^{N-1}) + (1 - 0.5^N) = N - (0.5 + 0.5^2 + \dots + 0.5^{N-2} + 0.5^{N-1} + 0.5^N) = N - \frac{0.5(1 - 0.5^N)}{1 - 0.5} = N - 1 + 0.5^N.
Таким образом, 8{,}001953125 = N - 1 + 0.5^N. N целое, поэтому N-1=8. N=9. (Что касается величины 0,5N, то она представляет собой дробную часть долга: 0,5N=0,001953125 ).
Ответ. N=9 миллиардам марок, долг будет выплачиваться в течение 9 лет.
В этой задаче можно сделать простую проверку правильности ответа:
PV = \frac{9{,}000{,}000{,}000}{2} + \frac{8{,}000{,}000{,}000}{2^2} + \frac{7{,}000{,}000{,}000}{2^3} + \dots + \frac{1{,}000{,}000{,}000}{2^9} = 8{,}001953125.