Рассмотрим обратную функцию спроса P=a-bq. Промаксимизируем сборы, если только одна фирма облагается налогом.

Pr_1=(a-c-t)Q-bQ^2 – это парабола ветвями вниз, вершина которой в точке Q^*=\frac{(a-c-t)}{2b}. Умножим на t и получим сборы в зависимости от ставки, которую может определять гос-во: Tx=\frac{1}{2b}((a-c-t)t-t^2) – тоже парабола ветвями вниз, оптимум которой в вершине t^* = 0.5(a - c) \rightarrow T x_1^* = \frac{0.125(a - c)^2}{b}.

Стоит отметить, что оптимальный налог всегда достижим, если c<100, так как это разрыв между MR и MC, который положителен при положительном объёме, как и прибыль.

Рассмотрим сборы во втором случае:

Найдем остаточный спрос для второй фирмы: цена в равновесии у первой равна 0,5a+0,5(c+t). Тогда остаточный спрос задан как P=0,5a-0,5(c+t)-bq_2,

Pr_2 = \left( 0.5a - 1.5(c + t) \right)q_2 - bq_2^2 – парабола ветвями вниз.

q_2^* = \frac{0.5 \left(0.5a - 1.5(c + t)\right)}{b}, если q_2^*>0 и 0, если меньше. Запишем общие сборы:

Tx_2 = t \times (q_1 + q_2) = \frac{t}{2b} \left(0.5a - 1.5(c + t) + a - (c + t)\right) = \frac{1}{2b} \left((1.5a - 2.5c)t - 2.5t^2\right) - очередная парабола ветвями вниз с максимумом в вершине t^* = \frac{1.5a - 2.5c}{5} \rightarrow Tx_2^* = \frac{(1.5a - 2.5c)^2}{20b}, если q_2^*\geq 0. После сравнения подставим, не будет ли при каких-то, c при которых вторые сборы больше, но q_2^*<0, тогда первые сборы на самом деле будут больше, так как оптимально будет выбрать такую ставку, что q_2^*=0, но это уже максимизация сборов с одной фирмы.

Тогда сравним эти кривые Лаффера:

Tx_1^* \geq Tx_2^* \\ 0.125 \frac{(a - c)^2}{b} \geq \frac{(1.5a - 2.5c)^2}{(20b)} \\ (a - c)^2 \geq 0.4 (1.5a - 2.5c)^2

При решении получаем \frac{a \left( 5 - \sqrt{40} \right)}{15} \leq c \leq \frac{a \left( 5 + \sqrt{40} \right)}{15}, но правая часть отрицательна, поэтому 0 \leq c \leq \frac{a \left( 5 + \sqrt{40} \right)}{15} – подозрительный ответ, так как при очень высоких c оба производителя даже без налога не смогут максимизировать прибыль вместе, т.к. у второго будет отрицательна. При подстановке оптимальной ставки выпуск второй фирмы во втором случае получаем q_2^* = \frac{a - 15c}{20}, \; c \leq \frac{a}{15}, но вторые сборы больше при 1 > c \geq \frac{a\left(5 + \sqrt{40}\right)}{15} >\frac{5a}{15} > \frac{a}{15}, значит при всех этих c вторые сборы недостижимы и первые больше, исходя из утверждений выше.

Теперь поговорим о том, что это за товар. Если цена на товар "ай" возрастает, излишек потребителей падает, и спрос на второй товар падает, а значит перекрестная эластичность спроса одного по цене другого меньше 0, и это товары-комплементы (дополнители). Также об этом свидетельствует то, что переходит к другому производителю лишь излишек тех, кто уже совершил сделку,

так как тем, кто не купил один товар-дополнитель, другой, скорее всего, без надобности.

Ответ: одну фирму облагать налогом всегда выгоднее; это товары-комплементы.