а) Способ 1. Пусть t –– ставка налога в 2016 году, G –– объем госзакупок, а Y₁ и Y₂ –– значения ВВП при выборе первой и второй меры соответственно. Для сбалансированности бюджета в 2017 году нужно, чтобы доходы бюджета были равны расходам. В первом варианте это будет означать 2,5t \cdot Y_1=G, а во втором – t \cdot Y_2=G/3.

Отсюда получаем

Y_1 = \frac{G}{2.5t}, \quad Y_2 = \frac{G}{3t}

Отсюда ясно, что первая мера снижает ВВП не так сильно, как вторая.

Способ 2. Можно найти изменения ВВП при применении обеих мер непосредственно, а затем сравнить их. В первом случае новый ВВП должен получиться равным 400, а во втором – равным 1000/3 (решение приведено в пункте 2). Таким образом, участник может просто решить пункт 2, а выводы пункта 1 будут следовать из него автоматически.

б) Обозначим за Y₀ объем ВВП в 2016 году. Тогда выполнена система уравнений

Y_0 = 50 + \frac{2}{3} \left( Y_0 - tY_0 \right) + 50 + G \\ Y_1 = 50 + \frac{2}{3} \left( Y_1 - 2,5tY_1 \right) + 50 + G_1 \\ Y_2 = 50 + \frac{2}{3} \left( Y_2 - tY_2 \right) + 50 + G/3 \\ 2,5t \cdot Y_1 = G \\ t \cdot Y_2 = G/3

Первые три уравнения представляют собой формулу ВВП по расходам (Y=C+I+G+X_n), записанную для 2016 года и для двух вариантов развития событий в 2017 году. Остальные два уравнения являются условиями сбалансированности бюджета для двух рассматриваемых политик.

Решать эту систему можно, например, так

1) Подставляя 2,5tY₁из четвертого уравнения во второе, получаем Y_1=50+\frac{2}{3}(Y_1−G)+50+G, откуда Y_1=300+G. Подставляя tY_2 из пятого уравнения в третье, получаем, что Y_2=50+\frac{2}{3}(Y_2−G/3)+50+G/3, откуда Y_2=300+G/3.

2) Деля четвертое уравнение на пятое (это можно делать,поскольку налог и госзакупки по условию существуют), получаем Y_1/Y_2=6/5, и значит, 5(300+G)=6(300+G/3), откуда G=100. Значит, Y_1=400. Из четвертого уравнения получаем, что t=10.

3) Наконец, найдем ВВП в 2016 году из первого уравнения. Подставляя найденные значения ставки налога и госзакупок, получаем, что

Y_0 = 50 + \frac{2}{3} \cdot 0,9Y_0 + 50 + 100

откуда Y_0 = 200/0,4 = 200 \cdot 2,5 = 500.

Значит, сокращение ВВП при повышении ставки налога составит Y_0 - Y_1 = 500 - 400 = 100.

Комментарии к задаче:

Возможно, участники будут решать задачу другими способами, например, использовать в решении мультипликаторы.

Во-первых, рассуждения, связанные с мультипликатором (автономных) налогов, неверные, т.к. автономных налогов в задаче по условию нет, а есть только подоходные. Справочно: налоговый мультипликатор имеет в данном случае вид

mult_T = \frac{-MPC}{1 - MPC(1 - t)}

Любые действия с мультипликатором автономных налогов не приводят к увеличению баллов. За налоговый мультипликатор любого вида ставится 0 баллов. Тем не менее, если участник верно выписал формулу для мультипликатора госзакупок, то это должно оцениваться. Мультипликатор госзакупок имеет вид:

mult_G = \frac{1}{1 - MPC(1 - t)}

Правильная запись мультипликатора оценивается в 1 балл. Если в записи мультипликаторов участник забывал подоходный налог, то ставим 0 баллов. Если участник смог верно посчитать мультипликатор госзакупок, то это оценивается еще в 6 баллов. Верно посчитанный мультипликатор равен:

mult_G = \frac{3}{1 + 2t}

К тому же, систему уравнений, необходимую для решения пункта Б, можно записать и по-другому, с помощью мультипликаторов автономных расходов: Y_i=mult_i A_i.

Заметим, что мультипликатор автономных расходов в данном случае зависит не только от предельной склонности к потреблению, но и от ставки подоходного налога (см. уравнения далее). Это также правильное решение, которое не противоречит критериям оценивания.

Y_0 = \frac{1}{1 - MPC(1 - t_0)} (100 + G_0) \\ Y_1 = \frac{1}{1 - MPC(1 - 2.5t_0)} (100 + G_1) \\ Y_2 = \frac{1}{1 - MPC(1 - t_0)} \left(100 + \frac{G_1}{3}\right) \\ 2.5t_0 Y_1 - G_0 = 0 \\ t_0 Y_2 - \frac{G_0}{3} = 0 \\

Напоминаю, в данной задаче MPC=2/3

Участник мог также попытаться найти относительные изменения ВВП в 2016 и 2017 годах. В этом случае он должен был получить соотношение:

\frac{Y_{16}}{Y_{17}} = \frac{1 + 5t}{1 + 2t}

Такое соотношение оценивается как два верно записанных уравнения в системе (то есть в 8 баллов)