Веснушки
Андрюша любит коллекционировать чёрные розы (x) и веснушки (y), но столкнулся с ограниченным бюджетом на покупку этих товаров, а именно x+y\leq 100. Тогда он взял ручку и почерком резким стал выводить свою функцию полезности и искать оптимальный выбор веснушек и чёрных роз. Он долго думал и наконец разобрался в своих предпочтениях. Его функция полезности оказалась равной U = \sqrt{100x + y + \dots} \sqrt{99x + 2y + \dots} + \sqrt{x + 100y}. Помогите Андрею найти оптимальный выбор x и y.
Сделаем 100 замен. \sqrt{100x + y} = a_1, \quad \sqrt{99x + 2y} = a_2, \dots \sqrt{x + 100y} = a_{100}
Заметим, что a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{100}^2 = 5050x + 5050y \leq 5050 \times 100 = 505000.
Из неравенства о средних получаем, что \sqrt{\frac{a_1^2 + \dots + a_{100}^2}{100}} \geq \frac{a_1 + \dots + a_{100}}{100} = \frac{U}{100}
Заметим, что максимум полезности будет, когда она равна \sqrt{\frac{a_1^2 + \dots + a_{100}^2}{100}}
а максимум этой величины равен максимуму 5050(x+y), то есть равен 5050*100=505000.
Значит максимум полезности равен 100 \times \sqrt{\frac{505000}{100}} = 100 \times \sqrt{5050}
при условии равенства среднего арифметического и среднего квадратичного ста переменных a_1, a_2,...,a_{100}, то есть x=y=50.