Трилемма едока
Юрист Савва зарабатывает w рублей в час (за полчаса w/2 рублей, за 10 минут w/6 рублей и т. д.). Савва должен решить, как ему организовать свое питание. Есть три варианта:
1. ходить в магазин за продуктами и готовить еду самому;
2. заказывать в интернете продукты с доставкой и готовить еду самому;
3. заказывать в интернете готовую еду с доставкой.
Стоимость продуктов на один прием пищи как в магазине, так и в интернете (без учета доставки) составляет 600 руб. Стоимость готовой еды при ее заказе в интернете составляет 1200 руб. без учета доставки. Стоимость доставки продуктов или доставки готовой еды составляет 500 руб. Поскольку Савва употребляет только свежие продукты и только что приготовленную еду, он ходит в магазин или заказывает доставку перед каждым приемом пищи. Поход в магазин занимает 30 минут. Готовка еды занимает 45 минут. Временем на сам прием пищи можно пренебречь.
Савва минимизирует экономические издержки, связанные с организацией своего питания. У Саввы есть сбережения, так что ему хватит денег на любой из вариантов при любом w. Для каждого w \geq 0 определите, какой из трех вариантов оптимален для Саввы (если оптимальных вариантов несколько, укажите все).
Рассчитаем экономические издержки для каждого из трех вариантов.
1: C_1(w) = 600 + w/2 + 3w/4 = 600 + 5w/4. (Второе и третье слагаемые есть альтернативные издержки времени, потраченного на поход в магазин и готовку соответственно.)
2: C_2(w) = 600 + 500 + 3w/4 = 1100 + 3w/4 . (Второе слагаемое есть альтернативные издержки времени, потраченного на готовку.)
3: C_3(w) = 1200 + 500 = 1700. (Здесь отсутствуют издержки времени.)
Дальше можно действовать аналитически или графически.
Аналитическое решение.
1) Сначала определим, при каких w второй вариант лучше первого. Это так тогда и только тогда, когда C_2(w) < C_1(w) то есть 1100 + 3w/4 < 600 + 5w/4 , w/2 \geq 500, w \geq 1000 . Соответственно, при w < 1000 первый вариант лучше второго, при w = 1000 издержки одинаковы.
Текст с изображения:
Сравнить варианты 1 и 2 можно и без подсчета всех экономических издержек. Поскольку в обоих вариантах 1 и 2 Савва готовит, вариант 2 выгоднее, если стоимость доставки продуктов меньше, чем альтернативные издержки времени, затраченного на поход в магазин, то есть 500 < w/2, w > 1000 .
2) Теперь определим, при каких w третий вариант лучше второго. Это так тогда и только тогда, когда C_3(w) < C_2(w), то есть 1700 < 1100 + 3w/4, то есть w > 800. Соответственно, при w < 800 второй лучше третьего, при w = 800 издержки одинаковы.
Сравнить варианты 2 и 3 можно и без подсчета всех экономических издержек. Поскольку в обоих вариантах 2 и 3 Савва платит за доставку, вариант 3 выгоднее, если разница стоимости готовой еды и стоимости продуктов меньше, чем альтернативные издержки времени, потраченного на готовку, то есть 1200 − 600 < 3w/4, w > 800 .
3) Из сравнений выше следует, что второй вариант не оптимален ни при каком w \geq 0. Действительно, при w < 1000 он хуже первого, а при w > 800 он хуже третьего. Но для любого w \geq 0 хотя бы одно из двух неравенств w < 1000 , w > 800 обязательно выполнено.
4) Значит, оптимален либо первый, либо третий вариант. Сравним их. C_1(w) < C_3(w) при 600 + 5w/4 = 1700, 5w/4 = 1100, w < 880. Значит, первый вариант оптимален при w < 880 , третий при w > 880 , при w = 880 они оба оптимальны.
Ответ:
- При w < 880 — вариант 1;
- При w = 880 — варианты 1 и 3;
- При w > 880 — вариант 3.
Графическое решение:
Построим графики функций Ci (w), i = 1, 2, 3 и при каждом w определим, какой из графиков лежит ниже всех других.
Чтобы правильно расположить графики на рисунке, необходимо определить, будет ли график C_2(w) лежать всюду выше графика функции \min\{C_1(w), C_3(w)\}, выделенной жирным, или нет. Это можно сделать несколькими способами.
Способ 1. Определить точку пересечения C_1(w) и C_3(w) (w = 880 ), точку пересечения C_1(w) и C_2(w) (w = 1000 ) и проверить, что вторая точка правее первой (1000 > 880 ).
Способ 2. Определить точку пересечения C_1(w) и C_3(w) (w = 800 ), точку пересечения C_3(w) и C_2(w) (w = 800 ) и проверить, что вторая точка левее первой (800 < 880).
Способ 3. Определить точку пересечения C_1(w) и C_2(w) (w = 1000 ), точку пересечения C_3(w) и C_2(w) (w = 800 ) и проверить, что первая точка левее второй (800 < 1000 ).
Способ 4. Определить точку пересечения C_1(w) и C_3(w) (w = 880 ) и проверить, что C_2(880) = 1760 > 1700.
Способ 5. Определить точку пересечения C_1(w) и C_2(w) (w = 1000 ) и проверить, что C_1(1000) = C_2(1000) = 1850 > 1700.
Способ 6. Определить точку пересечения C_2(w) и C_3(w) (w = 800 ) и проверить, что C_1(800) = 1600 < 1700.
После того, как графики правильно расположены, видно, что второй вариант никогда не оптимален, первый вариант оптимален при w < w_0, где w_0 определяется из C_1(w_0) = C_3(w), а третий при w > w_0. Если w_0 еще не найдена выше, определяем, что w_0 = 880.
Ответ:
- При w < 880 — вариант 1;
- При w = 880 — варианты 1 и 3;
- При w > 880 — вариант 3.
Комментарий. Мы получили, что Савва будет пользоваться услугами доставки при большой зарплате. Причина этого не в том, что при большой зарплате ему хватает денег на доставку, а при маленькой не хватает. По условию, ему хватает денег на все при любой зарплате. Причина в том, что при большой зарплате он больше ценит свое время, и потому не тратит его на готовку и поход в магазин.