Кубический Лоренц
Известно, что кривая Лоренца проходит через точку (12, \ 18) и описывается кубическим многочленом.
а) Найдите коэффициент Джини для данной экономики.
Пусть кривая Лоренца L(x) описывается кубическим многочленом и проходит через точку (1/2, \ 1/8)
По определению кривой Лоренца выполняются условия L(0)=0, \ L(1)=1, а также L(x) неубывающая и выпуклая на отрезке [0, \ 1].
а) Найдём коэффициент Джини.
Рассмотрим общий вид кубического многочлена: L(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
Из условий L(0)=0 и L(1)=1 получаем d=0, \ a+b+c=1.
Из условия L(1/2)=1/8 следует a/8+b/4+c/2=1/8 или, после умножения на 8, a+2b+4c=1.
Вычитая уравнение a+b+c=1, получаем b+3c=0 \ => \ b=-3c, a=1-b-c=1+2c.
Следовательно, все кубические кривые Лоренца, проходящие через заданные точки, имеют вид L(x)=(1+2c)x^3-3cx^2+cx.
Коэффициент Джини равен
G = 1 - 2 \int_{0}^{1} L(x) \, dx.
Вычислим интеграл:
\int_{0}^{1} L(x) \, dx = \frac{1 + 2c}{4} - c + \frac{c}{2} = \frac{1}{4},
что не зависит от параметра c.
Отсюда
G = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
б) Найдите, каким именно многочленом описывается кривая Лоренца.
б) Теперь попробем найти значение коэффициента c, чтобы определить точный вид кривой Лоренца. Кривая выпукла на [0, \ 1], значит L''(x) = 6ax + 2b \geq 0 \quad \forall x \in [0,1].
В частности, при x=0 :
2b \geq 0 \implies b \geq 0.
С учётом b=-3c из пункта а):
-3c \geq 0 \implies c \leq 0. \quad (1)
Кривая Лоренца неубывающая, следовательно,
L'(x) \geq 0 \quad \forall x \in [0,1].
В частности,
L'(0) \geq 0.
L'(x) = 3ax^2 + 2bx + c, \quad \Rightarrow \quad L'(0) = c.
Отсюда: c\geq 0. \quad (2)
Из (1) и (2) получаем: c=0
Тогда: b=0, \ a=1.
Следовательно, единственная возможная кривая Лоренца L(x)=x^3.
y=x^3.