Кубический Лоренц
Известно, что кривая Лоренца проходит через точку и описывается кубическим многочленом.
а) Найдите коэффициент Джини для данной экономики.
Ответ
Пусть кривая Лоренца описывается кубическим многочленом и проходит через точку
По определению кривой Лоренца выполняются условия , а также неубывающая и выпуклая на отрезке .
а) Найдём коэффициент Джини.
Рассмотрим общий вид кубического многочлена: .
Из условий и получаем .
Из условия следует или, после умножения на , .
Вычитая уравнение , получаем , .
Следовательно, все кубические кривые Лоренца, проходящие через заданные точки, имеют вид .
Коэффициент Джини равен
Вычислим интеграл:
что не зависит от параметра .
Отсюда
б) Найдите, каким именно многочленом описывается кривая Лоренца.
Ответ
б) Теперь попробем найти значение коэффициента , чтобы определить точный вид кривой Лоренца. Кривая выпукла на , значит
В частности, при :
С учётом из пункта а):
Кривая Лоренца неубывающая, следовательно,
В частности,
Отсюда:
Из и получаем:
Тогда:
Следовательно, единственная возможная кривая Лоренца .
.