Распределение налогового бремени

Рассмотрим рынок совершенной конкуренции, где функции спроса и предложения имеют постоянную единичную эластичность по цене. Запишем их в виде:

Q_d(p) = \frac{A}{p}, \quad Q_s(p) = Bp,

где A  и B - положительные константы, а p - цена.

Условие равновесия Q_d=Q_s :

\frac{A}{p} = Bp, \quad p^2 = \frac{A}{B}, \quad p^* = \sqrt{\frac{A}{B}}

При введении налога по ставке t цена для производителей становится p_s=p_d-t. Новое условие равновесия:

\frac{A}{p_d} = B(p_d - t)

Решаем квадратное уравнение относительно p_d :

A = Bp_d(p_d - t), \quad Bp_d^2 - Btp_d - A = 0

Его решение:

p_d = \frac{t + \sqrt{t^2 + 4\frac{A}{B}}}{2}

Цена производителя:

p_s = p_d - t = \frac{-t + \sqrt{t^2 + 4\frac{A}{B}}}{2}

Налоговое бремя покупателей:

t_d = p_d - p^* = \frac{t + \sqrt{t^2 + 4\frac{A}{B}}}{2} - \sqrt{\frac{A}{B}}

Налоговое бремя производителей:

t_s = p^* - p_s = \sqrt{\frac{A}{B}} - \frac{-t + \sqrt{t^2 + 4\frac{A}{B}}}{2}

Положим A/B=C и рассмотрим отношение t_d/t :

\frac{t_d}{t} = \frac{t + \sqrt{t^2 + 4C}}{2t} - \frac{\sqrt{C}}{t}

Введем функцию:

f(t) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{t^2 + 4C}}{2t} - \frac{\sqrt{C}}{t}

Найдем производную:

f'(t) = \left( \frac{\sqrt{t^2 + 4C}}{2t} \right)' - \left( \frac{\sqrt{C}}{t} \right)'= \frac{\frac{t}{\sqrt{t^2 + 4C}} \cdot 2t - \sqrt{t^2 + 4C} \cdot 2}{4t^2} + \frac{\sqrt{C}}{t^2}= \frac{-\frac{2t^2}{\sqrt{t^2 + 4C}} - 2\sqrt{t^2 + 4C}}{4t^2} + \frac{\sqrt{C}}{t^2} = \frac{-\frac{2t^2 + 2(t^2 + 4C)}{\sqrt{t^2 + 4C}}}{4t^2} + \frac{\sqrt{C}}{t^2}= \frac{-\frac{4t^2 + 8C}{\sqrt{t^2 + 4C}}}{4t^2} + \frac{\sqrt{C}}{t^2}= -\frac{t^2 + 2C}{t^2 \sqrt{t^2 + 4C}} + \frac{\sqrt{C}}{t^2}= \frac{-t^2 - 2C + \sqrt{C} \sqrt{t^2 + 4C}}{t^2 \sqrt{t^2 + 4C}}= \frac{-t^2 - 2C + \sqrt{C(t^2 + 4C)}}{t^2 \sqrt{t^2 + 4C}}

Заметим, что для любых t>0 выполняется \sqrt{t^2C + 4C^2} > 2C и t^2(t^2 + 4C) > 0, а значит f'(t) > 0.

Таким образом, с ростом ставки налоговое бремя всё больше смещается на покупателей.