S015
Сообщество гуманоидов имеет функцию полезности U=X_1X_2^2, где
X_1 – физическое производство предметов потребления в любом текущем году,
X_2 − производство предметов потребления в следующем за ним году.
Кривая производственных возможностей сообщества имеет вид: X_2+Y_2=2,6Y_1 (здесь Y_1 и Y_2 – соответственно физические объемы производства средств производства в текущем и следующем году). Ежегодно поддерживается одно и то же соотношение физических объемов производства предметов потребления и средств производства. Все предметы потребления используются в течение того текущего года, в котором они производятся. Все средства производства, производимые в текущем году, накапливаются. Они полностью используются только в течение следующего года.
Определите темп ежегодного экономического роста (в процентах), который будет поддерживаться в данном сообществе.
Пусть X_1+Y_1=1. По условию задачи \frac{X_1}{Y_1} = \frac{X_2}{Y_2}, \quad \frac{X_1}{1 - X_1} = \frac{X_2}{2,6Y_1 - X_2}.
\frac{X_1}{1 - X_1} = \frac{X_2}{2,6(1 - X_1) - X_2}, \quad X_2 = 2,6X_1(1 - X_1).
U = X_1 X_2^2 = X_1 \times \left[2,6X_1(1 - X_1)\right]^2 = 2,6^2 X_1^3(1 - X_1)^2.
U' = 3 \times 2,6^2 X_1^2(1 - X_1)^2 - 2 \times 2,6^2 X_1^3(1 - X_1) = 0, \quad X_1 = 0,6. X_2 = 2,6X_1(1 - X_1) = 0,624.
\frac{X_2}{X_1} = 1,04. Таким образом, производство предметов потребления вырастет на 4\%.
Нетрудно убедиться, что таким же будет и рост производства средств производства.
Ответ: 4\%.