S010
Во время проведения маркетингового исследования на рынке товара X эксперт Y обнаружил, что функция спроса на товар X является линейной. Кроме того, был обнаружен еще один факт: если взять за точку отсчета одно определенное значение объема спроса, то при уменьшении этого объема на 3 единицы эластичность спроса по абсолютной величине ( | \varepsilon | ) возрастает в три раза. А если уменьшить объем спроса еще на три единицы, то эластичность спроса по абсолютной величине вырастет еще в три раза. Помогите эксперту определить, какой максимальный объем товара может быть продан на данном рынке.
Обозначим значения эластичности по абсолютной величине для трех упомянутых в условии значений объема спроса как t, 3t, 9t.
Пользуясь геометрическим методом определения эластичности, мы можем записать следующие равенства:
\begin{cases} b : (a + 3 + 3) = t & (1) \\ (3 + b) : (a + 3) = 3t & (2) \\ (3 + 3 + b) : a = 9t & (3) \end{cases}
Разделив (2) на (1), получим: [(b+3)(a+6)]:[(a+3)b]=3.
ab + 6b + 3a + 18 = 3ab + 9b. \quad 3a - 3b - 2ab + 18 = 0 \quad (4).
Разделив (3) на (1), получим: [(a+6)(b+6)]:(ab)=9.
ab + 6a + 6b + 36 = 9ab. \quad 6a + 6b + 36 - 8ab = 0. \quad 3a + 3b - 4ab + 18 = 0 \quad (5).
Вычитая (4) из (5), получаем: 6b-2ab=0. a=3. Подставив это значение a в (4) или (5), найдем, что b=3.
Максимальный объем товара будет равен: a+3+3+b=12.
Ответ: 12.