Обозначим значения эластичности по абсолютной величине для трех упомянутых в условии значений объема спроса как t, 3t, 9t.

Пользуясь геометрическим методом определения эластичности, мы можем записать следующие равенства:

\begin{cases} b : (a + 3 + 3) = t & (1) \\ (3 + b) : (a + 3) = 3t & (2) \\ (3 + 3 + b) : a = 9t & (3) \end{cases}

Разделив (2) на (1), получим: [(b+3)(a+6)]:[(a+3)b]=3.

ab + 6b + 3a + 18 = 3ab + 9b. \quad 3a - 3b - 2ab + 18 = 0 \quad (4).

Разделив (3) на (1), получим: [(a+6)(b+6)]:(ab)=9.

ab + 6a + 6b + 36 = 9ab. \quad 6a + 6b + 36 - 8ab = 0. \quad 3a + 3b - 4ab + 18 = 0 \quad (5).

Вычитая (4) из (5), получаем: 6b-2ab=0. a=3. Подставив это значение a в (4) или (5), найдем, что b=3.

Максимальный объем товара будет равен: a+3+3+b=12.

Ответ: 12.