После введения НДПИ по ставке t возможны два случая: 1) нефть поставляется только на внутренний рынок; 2) нефть поставляется как на внутренний, так и на внешний рынок.

Найдём, при каких t и x реализуются каждый из двух случаев. Прямая функция внутреннего спроса имеет вид Q_d(P) = 30 - P/3. После введения НДПИ кривая предложения примет вид P = 30 + Q + t , то есть Q_s(P) = P - 30 - t . Нефть будет поставляться на внешний рынок тогда и только тогда, когда Q_d(x) < Q_s(x), то есть 30 - x/3 < x - 30 - t, откуда t < 4x/3 - 60.

Теперь найдём зависимость равновесного объёма добычи (производства) от t. При t < 4x/3 - 60 нефть будет экспортироваться, общий объём добычи будет определяться мировой ценой, Q = x - 30 + t , а t > 4x/3 - 60 , нефть будет продаваться только внутри страны, а значит, объём добычи будет определяться внутренним равновесием: 90 - 3Q = 30 + Q + t , откуда Q = 60 - (t/4). Подытоживая, получаем:

Q(t) = \begin{cases} x - 30 + t, & t < 4x/3 - 60; \\ (60 - t/4), & t \geq 4x/3 - 60. \end{cases}

Значит, налоговые сборы по НДПИ будут равны:

T(t) = tQ(t) = \begin{cases} t(x - 30 - t), & t < \frac{4x}{3} - 60; \\ t(60 - t)/4, & t \geq \frac{4x}{3} - 60. \end{cases}

Государство максимизирует эту функцию по t. Найдем точку глобального максимума T(t) при каждом x>0. Заметим, что функция T(t) на каждом из двух участков является квадратичной, ветви парабол направлены вниз. Легко проверить, что функция является непрерывной в точке переключения с одной параболы на другую.

Чтобы установить промежутки монотонности функции T(t) , найдем точки вершин парабол, а также значения x, при которых вершины парабол находятся на актуальных для этих парабол участках. Последнее важно, потому что если обе вершины парабол находятся за пределами участков, на которых эти параболы актуальны, то T(t) будет максимальна не в вершине какой-либо из двух парабол, а в точке стыковки двух парабол.

Вершиной левой параболы является t_1 = (x - 30)/2, вершиной правой параболы t_2 = 30 . Эти точки можно также найти, приравняв производную сборов к нулю. Вершина левой параболы принадлежит актуальному для этой параболы участку при (x - 30)/2 < 4x/3 - 60, x > 54. Вершина правой параболы принадлежит актуальному для этой параболы участку при 30 > 4x/3 - 60, x < 67.5 . Кроме того, заметим, что когда мировая цена меньше чем равновесная в закрытой экономике, то экспорта нефти не будет.

Получаем 4 случая:

1. При x < 45 левого участка нет, графиком T(t) является просто парабола, оптимальной ставкой налога является t^* = t_2 = 30.

2. При 45 < x < 54 левый участок есть, но вершина левой параболы находится вне левого участка (справа от него). Значит, на левом участке функция T(t) не может возрастать. Вершина правой параболы принадлежит правому участку, максимум функции T(t) достигается в вершине правого участка, t^* = t_2 = 30.

3. При x \in (54; 67.5] вершины обеих парабол принадлежат соответствующим участкам. Значит, максимум T(t) достигается в одной из вершин — в той, где значение функции больше. Сравним эти значения. T(t_1) = T((x - 30)/2) = (x - 30)^2/4 , T(t_2) = T(30) = 900/4. T(t_1) > T(t_2) при (x - 30)^2/4 > 900/4 , то есть (x - 30)^2 > 900, x > 60. Значит, при x > 60 оптимальной ставкой будет t^* = t_1 = (x - 30)/2, при x < 60 оптимальной ставкой будет t^* = t_2 = 30 . При x = 60 государству безразлично. По условию, оно выберет наименьшую ставку, то есть t_1 = (60 - 30)/2 = 15 .

4. При x > 67.5 вершина левой параболы принадлежит левому участку, вершина правой параболы лежит левее правого участка. Значит, на правом участке функция монотонно убывает, а максимум достигается в вершине левого участка, t^* = t_1 = (x - 30)/2 = x/2 - 15 .

В итоге, получаем, что оптимальной ставкой налога при каждой мировой цене x > 0 является

t^*(x) = \begin{cases} 30, & x < 60; \\ x/2 - 15, & x \geq 60. \end{cases}

График этой функции выглядит следующим образом:

Примечания:

- Дилемма государства здесь заключается в том, чтобы решить, назначить ставку НДПИ побольше, но тогда потенциально задушить весь экспорт, либо же назначить ставку поменьше, но получить большие сборы за счёт большего объёма экспорта.

- На данный момент в России ставка НДПИ на нефть определяется по формуле t(x) = ax - \beta , где x — мировая цена на нефть, где a > 0 — константа, а \beta > 0 — параметр, зависящий от технологии производства нефти. Таким образом, на участке, соответствующем экспорту (при x > 60 ) наша модель генерирует тот же вид зависимости t(x), что и наблюдается в реальной жизни. Кроме того, решив задачу в общем виде, можно убедиться (убедитесь!), что оптимальная величина сдвига \beta в нашей модели зависит только от параметров функции предложения, то есть как раз от технологии производства.