а) Найдем первоначальный оптимум, для чего составим функцию прибыли.

\pi_0(q) = (20 - q/2)q - 10q = 10q - \frac{q^2}{2}.

Фирма максимизирует эту функцию на отрезке [0;8]. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке q=10. (Это значение можно найти и приравниванием производной прибыли к 0.) Следовательно, функция возрастает на допустимом отрезке [0;8], оптимальный выпуск равен q_0^*=8. При этом максимальная прибыль составит \pi_0(8)=80-32=48.

Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода (MR=20-q) и предельных издержек (MC=10). При всех q\leq 8 выполнено MR>MC, так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение q^*=8. Функции MR и MC пересекаются в точке q=10, но это больше допустимого количества.

б) После внедрения плана A функция издержек примет вид

TC(q)=0,6-10Q+Y=6q+Y.

Функция прибыли примет вид

\pi_1(q) = (20 - q/2)q - (6q + Y) = 14q - \frac{q^2}{2} - Y.

Фирма максимизирует эту функцию на отрезке [0;8]. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке q=14. Следовательно, функция возрастает на отрезке [0;8], оптимальный выпуск равен

q^*=8. При этом максимальная прибыль составит \pi_1(8)=112-32-Y=80-Y.

Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода (MR=20-q) и предельных издержек (MC=6). При всех q\leq 8 выполнено MR>MC, так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение q^*=8. Функции MR и MC пересекаются в точке q=14, но это больше допустимого количества.

Для получения этого ответа можно формально не максимизировать новую функцию прибыли. Заметим, что при снижении предельных издержек монополиста его оптимальный выпуск увеличится, так как в силу убывания функции MR ее пересечение с MC будет правее, чем раньше. А значит, фирма по-прежнему будет производить максимально доступное количество товара.

Чтобы узнать максимально допустимое для фирмы значение Y , решим неравенство 80-Y\geq 48. Получаем, что за план A фирма будет готова платить не более, чем 32 ден. ед.

в) Функция прибыли не изменится; изменится отрезок, на котором фирма проводит оптимизацию. Теперь фирма будет максимизировать прибыль на отрезке [0;12]. Заметим, что теперь отрезок содержит вершину параболы q^*=10, найденную в пункте а). Значит, фирма выберет этот объем выпуска. Максимальная прибыль составит \pi_0(10)-Y=50-Y.

Решая неравенство 50-Y\geq 48, получаем, что за план B фирма будет готова платить не более, чем 2 ден. ед.

г) Теперь изменится и функция прибыли, и отрезок. Фирма будет максимизировать функцию \pi_1(q)=14q-q^2/2-Y на отрезке [0;12]. В пункте б) мы видели, что эта функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке 14. Следовательно, функция возрастает на отрезке [0;12], оптимальный выпуск равен 12. Максимальная прибыль составит \pi_1(12) = 14 \cdot 12 - \frac{12^2}{2} - Y = 12 \cdot (14 - 6) - Y = 12 \cdot 8 - Y = 96 - Y.

Решая неравенство 96-Y\geq 48, получаем, что за план B фирма будет готова платить не более, чем 48 ден. ед.

Примечание:

Примечание 1. Почему ответ в г) получился большим, чем сумма ответов в б) и в)? Дело в том, что чем больше единиц продукции фирма может выпустить, тем более выгодным для нее является потенциальное снижение себестоимости, и поэтому между этими мерами, как говорят, возникает синергия.

Примечание 2. В жизни, как правило, консультанты работают над повышением производительности фирм, что одновременно снижает себестоимость и увеличивает максимальный объем производства (как в пункте г). Действительно, допустим фирма располагает K единиц капитала, каждая из которых производит a единиц продукции; аренда каждой единицы капитала обходится в r ден. ед. в месяц. Тогда средние издержки производства содержат слагаемое r/a, а максимальный объем производства равен aK . При росте a будет наблюдаться как снижение себестоимости, так и рост максимального объема производства.

Примечание 3. В качестве дополнительного задания на уроках экономики можно найти, площадям каких фигур на стандартном графике монополии соответствуют ответы этой задачи.

Примечание 4. Участник может всюду считать максимальную прибыль без учета платы консультантам (Y), а затем считать разность прибылей для ответа на вопрос о том, сколько фирма готова заплатить. Такое решение корректно.