Выведем функцию линейного спроса по двум точкам. Пусть спрос задается функцией Q_d(p) = a - bP . Например, составим и решим систему уравнений:

\begin{cases} 3 = a - 20b, \\ 48 = a - 5b. \end{cases}

Решив ее, получаем Q_d(p) = 63 - 3p .

Определим, какую цену назначил менеджер в марте (оптимальную для не настоящего линейного спроса). Составим функцию прибыли для этого спроса:

\pi(Q) = TR(Q) - TC(Q) = Q (21 - Q/3) - 3Q = 18Q - Q^2/3.

Оптимальный выпуск находится в вершине параболы, Q^* = 18/(2/3) = 27 . Значит, оптимальная цена p^* = 21 - 27/3 = 12 .

Заметим, что можно было сразу максимизировать прибыль по p. Действительно, \pi(p) = Q(p) \cdot (63 - 3p) / 3 = 21(21 - p)(p - 3) . Эта парабола с ветвями вниз, вершина находится посредине между корнями. Значит, p^* = (3 + 21)/2 = 12 , получили тот же ответ.

Далее найдем истинную функцию спроса по двум точкам. Для этого составим систему:

\begin{cases} 3 = \frac{A}{20^k}, \\ 48 = \frac{A}{5^k}. \end{cases}

Разделив второе уравнение на первое, получаем 16 = 4^k, откуда k = 2. Значит, A = 1200. Итак, настоящая функция спроса описывается уравнением**

Q^{\text{истинн}}_d(p) = \frac{1200}{p^2}.

Менеджер назначил цену p = 12, значит, в марте потребители захотели купить

Q^{\text{истинн}}_d(12) = \frac{1200}{12^2} = \frac{1200}{144} = 25/3 \text{ единиц продукции}.

Фактическая прибыль фирмы составила:

(12 - 3) \cdot 25/3 = 9 \cdot 25/3 = 75.

Осталось рассчитать максимально возможную прибыль. Настоящая функция прибыли фирмы (от p ) имеет вид:

\pi^{\text{истинн}}(p) = Q^{\text{истинн}}_d(p)(p - 3) = \frac{1200}{p^2} \cdot (p - 3) = 1200 \left( \frac{1}{p} - \frac{3}{p^2} \right).

Сделав замену t = 1/p, получаем параболу с ветвями вниз:

\pi^{\text{истинн}}(t) = 1200(t - 3t^2).

Оптимальное \(t\) находится в вершине: t^* = 1/6, откуда p^* = 1/(1/6) = 6. Фирме для максимизации прибыли нужно было назначить цену 6, а не 12.

Также эту цену можно было найти из формулы индекса Лернера:

\frac{p^* - MC}{p^*} = \frac{1}{|E|}, \quad \text{у нас } MC = 3, \ |E| = 2, \text{ откуда } p^* = 6.

Кроме того, можно было максимизировать прибыль по Q :

\pi^{\text{истинн}}(Q) = Q \cdot \frac{\sqrt{1200}}{Q} - 3Q = \sqrt{1200} - 3Q.

После замены t = \sqrt{Q}, получаем параболу с ветвями вниз:

\pi^{\text{истинн}}(t) = 1200(t - 3t^2).

Вершина t^* = 2, следовательно, Q = 1200/36 = 3.6.

Максимально возможная прибыль равна 100. Значит, фирма недополучила 25% прибыли из-за неверного предположения о линейности спроса (и, как следствие, неверного ценообразования):

\frac{100 - 75}{100} \times 100\% = 25\% прибыли.

Ответ: 25%.