Выведем функцию общего спроса на напиток:

Q^d(P) = \begin{cases} 0, & \text{при } P \geq 27; \\ 27 - P, & \text{при } 15 \leq P < 27; \\ 72 - 4P, & \text{при } 10 \leq P < 15; \\ 92 - 6P, & \text{при } 0 \leq P < 10. \end{cases}

Найдем максимальную прибыль трактирщика с привлечением помощника и без него. Сначала рассмотрим случай без помощника. Выведем MR и MC.

MR(Q) = \begin{cases} 27 - 2Q, & \text{если } 0 \leq Q < 12; \\ 18 - \frac{1}{2}Q, & \text{если } 12 \leq Q < 32; \\ \frac{46}{3} - \frac{1}{3}Q, & \text{если } 32 \leq Q < 92. \end{cases}

TC(Q) = Q^2 + 3Q + 4 \Rightarrow MC(Q) = 2Q + 3

Найдем все подозрительные на максимум прибыли точки, рассмотрев отдельно участки, на которых MR линейна. Заметим, что на каждом линейном участке MC(Q) — возрастающая функция, MR(Q) — убывающая. Значит, точка Q*, такая, что MR(Q*)=MC(Q*), является точкой максимума прибыли.

1-й участок: 0 \leq Q<12

Имеем: 27−2Q=2Q+3 \Rightarrow Q=6. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу. Тогда P*=21, а прибыль равна \pi_1(6)=TR−TC=21 \cdot 6−36−18−4=68.

2-й участок: 12 \leq Q<32

18−12Q=2Q+3 \Rightarrow Q=6. Эта точка не входит в рассматриваемый интервал. Тогда максимум будет в ближайшей к 6 точке из допустимого интервала: Q*=12 \Rightarrow \pi_1(12)=−4<0.

3-й участок: 32 \leq Q<92

\frac{46}{3} − \frac{1}{3}Q = 2Q + 3 \Rightarrow Q = \frac{37}{7}. Эта точка не входит в рассматриваемый интервал. Тогда максимум будет в ближайшей к точке \frac{37}{7} точке из допустимого интервала: Q*=32 \Rightarrow \pi_1(32)<0.

Аналогично рассмотрим случай, когда трактирщик нанимает помощника. Тогда MC(Q)=\frac{2}{11}Q+3. Рассмотрим отдельно участки, на которых MR линейна.

1-й участок: 0 \leq Q<12

27−2Q=\frac{2}{11}Q+3 \Rightarrow Q=11 — точка лежит на интервале. Следовательно, P*=16, а прибыль трактирщика равна \pi_2(11)=\frac{97}{2}=48.5.

2-й участок: 12 \leq Q<32

18-\frac{1}{2}Q=\frac{2}{11}Q+3 \Rightarrow Q*=22 — точка лежит на интервале. Следовательно, P*=12.5, а прибыль равна: \pi_2(12.5)=\frac{130}{2}=65.

3-й участок: 32 \leq Q<92

\frac{46}{3}−\frac{1}{3}Q=\frac{2}{11}Q+3 \Rightarrow Q=\frac{407}{17} — точка не входит в интервал. Тогда максимум достигается в ближайшей к точке \frac{407}{17} из допустимого интервала: Q*=32 \Rightarrow \pi_2(32)<0.

Теперь из всех возможных случаев выбираем случай с наибольшей прибылью, равной 68. В этом случае P=21.