Три мушкетера
Вернувшись во Францию, мушкетеры Атос, Портос и Арамис решили зайти в трактир «Красная голубятня», чтобы выпить несколько чарок анжуйского напитка. Функции спроса мушкетеров таковы: у Атоса Q^1_d(p)=27−p , у Портоса Q^2_d(p)=45−3p и у Арамиса Q^2_d(p)=20−2p, где Q –– количество чарок (будем считать, что чарка может быть заполнена на любую часть по желанию клиента), а P –– цена одной чарки в серебряных монетах. Трактирщик Годо знает функции спроса мушкетеров, а других клиентов у него нет. При этом он может работать один, и тогда функция его издержек имеет вид TC_1(Q)=Q^2+3Q+4. Кроме того, он может привлечь к работе своего помощника, и тогда их совместная функция издержек станет равна TC_2(Q)=\frac{1}{11}Q^2+3Q+35, но прибыль придется поделить пополам.
Сделка устроена следующим образом: сначала Годо выбирает режим работы и назначает цену за чарку (единую для всех покупателей), а затем каждый из мушкетеров говорит, сколько чарок он готов по этой цене купить. Угощать друзей напитками почему-то не принято.
Какую цену назначит трактирщик?
Выведем функцию общего спроса на напиток:
Q^d(P) = \begin{cases} 0, & \text{при } P \geq 27; \\ 27 - P, & \text{при } 15 \leq P < 27; \\ 72 - 4P, & \text{при } 10 \leq P < 15; \\ 92 - 6P, & \text{при } 0 \leq P < 10. \end{cases}
Найдем максимальную прибыль трактирщика с привлечением помощника и без него. Сначала рассмотрим случай без помощника. Выведем MR и MC.
MR(Q) = \begin{cases} 27 - 2Q, & \text{если } 0 \leq Q < 12; \\ 18 - \frac{1}{2}Q, & \text{если } 12 \leq Q < 32; \\ \frac{46}{3} - \frac{1}{3}Q, & \text{если } 32 \leq Q < 92. \end{cases}
TC(Q) = Q^2 + 3Q + 4 \Rightarrow MC(Q) = 2Q + 3
Найдем все подозрительные на максимум прибыли точки, рассмотрев отдельно участки, на которых MR линейна. Заметим, что на каждом линейном участке MC(Q) — возрастающая функция, MR(Q) — убывающая. Значит, точка Q*, такая, что MR(Q*)=MC(Q*), является точкой максимума прибыли.
1-й участок: 0 \leq Q<12
Имеем: 27−2Q=2Q+3 \Rightarrow Q=6. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу. Тогда P*=21, а прибыль равна \pi_1(6)=TR−TC=21 \cdot 6−36−18−4=68.
2-й участок: 12 \leq Q<32
18−12Q=2Q+3 \Rightarrow Q=6. Эта точка не входит в рассматриваемый интервал. Тогда максимум будет в ближайшей к 6 точке из допустимого интервала: Q*=12 \Rightarrow \pi_1(12)=−4<0.
3-й участок: 32 \leq Q<92
\frac{46}{3} − \frac{1}{3}Q = 2Q + 3 \Rightarrow Q = \frac{37}{7}. Эта точка не входит в рассматриваемый интервал. Тогда максимум будет в ближайшей к точке \frac{37}{7} точке из допустимого интервала: Q*=32 \Rightarrow \pi_1(32)<0.
Аналогично рассмотрим случай, когда трактирщик нанимает помощника. Тогда MC(Q)=\frac{2}{11}Q+3. Рассмотрим отдельно участки, на которых MR линейна.
1-й участок: 0 \leq Q<12
27−2Q=\frac{2}{11}Q+3 \Rightarrow Q=11 — точка лежит на интервале. Следовательно, P*=16, а прибыль трактирщика равна \pi_2(11)=\frac{97}{2}=48.5.
2-й участок: 12 \leq Q<32
18-\frac{1}{2}Q=\frac{2}{11}Q+3 \Rightarrow Q*=22 — точка лежит на интервале. Следовательно, P*=12.5, а прибыль равна: \pi_2(12.5)=\frac{130}{2}=65.
3-й участок: 32 \leq Q<92
\frac{46}{3}−\frac{1}{3}Q=\frac{2}{11}Q+3 \Rightarrow Q=\frac{407}{17} — точка не входит в интервал. Тогда максимум достигается в ближайшей к точке \frac{407}{17} из допустимого интервала: Q*=32 \Rightarrow \pi_2(32)<0.
Теперь из всех возможных случаев выбираем случай с наибольшей прибылью, равной 68. В этом случае P=21.