Три мушкетера
Вернувшись во Францию, мушкетеры Атос, Портос и Арамис решили зайти в трактир «Красная голубятня», чтобы выпить несколько чарок анжуйского напитка. Функции спроса мушкетеров таковы: у Атоса , у Портоса и у Арамиса , где Q –– количество чарок (будем считать, что чарка может быть заполнена на любую часть по желанию клиента), а P –– цена одной чарки в серебряных монетах. Трактирщик Годо знает функции спроса мушкетеров, а других клиентов у него нет. При этом он может работать один, и тогда функция его издержек имеет вид . Кроме того, он может привлечь к работе своего помощника, и тогда их совместная функция издержек станет равна , но прибыль придется поделить пополам.
Сделка устроена следующим образом: сначала Годо выбирает режим работы и назначает цену за чарку (единую для всех покупателей), а затем каждый из мушкетеров говорит, сколько чарок он готов по этой цене купить. Угощать друзей напитками почему-то не принято.
Какую цену назначит трактирщик?
Ответ
Выведем функцию общего спроса на напиток:
Найдем максимальную прибыль трактирщика с привлечением помощника и без него. Сначала рассмотрим случай без помощника. Выведем MR и MC.
Найдем все подозрительные на максимум прибыли точки, рассмотрев отдельно участки, на которых MR линейна. Заметим, что на каждом линейном участке MC(Q) — возрастающая функция, MR(Q) — убывающая. Значит, точка Q*, такая, что , является точкой максимума прибыли.
1-й участок:
Имеем: . Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу. Тогда P*=21, а прибыль равна .
2-й участок:
. Эта точка не входит в рассматриваемый интервал. Тогда максимум будет в ближайшей к 6 точке из допустимого интервала: .
3-й участок:
Эта точка не входит в рассматриваемый интервал. Тогда максимум будет в ближайшей к точке точке из допустимого интервала: .
Аналогично рассмотрим случай, когда трактирщик нанимает помощника. Тогда . Рассмотрим отдельно участки, на которых MR линейна.
1-й участок:
— точка лежит на интервале. Следовательно, P*=16, а прибыль трактирщика равна .
2-й участок:
— точка лежит на интервале. Следовательно, P*=12.5, а прибыль равна: .
3-й участок:
— точка не входит в интервал. Тогда максимум достигается в ближайшей к точке из допустимого интервала:
Теперь из всех возможных случаев выбираем случай с наибольшей прибылью, равной 68. В этом случае P=21.