S052
Две бригады строителей должны построить железнодорожный тоннель длиной 5000 метров. Согласно технологическим требованиям, которые изменить нельзя, строительство тоннеля должно быть начато одновременно с двух концов. Пусть число строителей в первой бригаде равно L_1, во второй – L_2. За один день первая бригада может построить 1\frac{1}{3}\sqrt{L_1} метров тоннеля. Вторая бригада, имеющая менее благоприятные условия для работы, за один день может построить L_2 метров тоннеля. Тоннель должен быть построен за 300 дней.
При какой минимальной общей численности строителей (L_1+L_2) тоннель может быть закончен в срок? Сколько строителей должно быть при этом в первой бригаде и сколько – во второй?
300 \times \left( 1 / \sqrt[3]{L_1} + \sqrt{L_2} \right) = 5000. \quad \sqrt{L_2} = \frac{50}{3} - \frac{4}{3} \sqrt{L_1}. \quad L_2 = \left( \frac{50}{3} - \frac{4}{3} \sqrt{L_1} \right)^2.
L = L_1 + L_2 = L_1 + \left( \frac{50}{3} - \frac{4}{3} \sqrt{L_1} \right)^2. \quad L' = 1 - 2 \times \left( \frac{50}{3} - \frac{4}{3} \sqrt{L_1} \right) \times \frac{4}{3} \times \frac{1}{2\sqrt{L_1}} = 0.
Ответ. L_1=65.\quad L_2=36.\quad L=100.