Задача 3 ОЧ-2018 10 класс
У некоторой фирмы есть два цеха, где производится один и тот же товар X. Фирма использует в производстве только труд, не несет постоянных издержек и является совершенным конкурентом на рынке труда, заработная плата равна 1. Зависимость количества выпущенной продукции (Q) от количества нанятых рабочих (L, не обязательно целое число) в первом цехе описывается функцией Q=\sqrt{2L}. А во втором цехе:
Q = \begin{cases} 5 - \sqrt{25 - L}, & L \leq 25 \\ 5, & L \geq 25 \end{cases}
1. Пусть фирма является совершенным конкурентом на рынке товара X и может использовать оба цеха. Выведите общие издержки фирмы в зависимости от количества произведенной продукции, функцию предложения фирмы. При каких значениях цены фирма будет использовать оба цеха?
2. Предположим теперь, что фирма является монополистом на рынке товара X. Спрос задаётся уравнением Q_d(p)30-3P. При каком объёме производства прибыль фирмы максимальна? Какую прибыль получит фирма?
3. Какой потолок цены должно установить государство, если оно желает, чтобы на рынке было продано как можно больше товара X ? Сколько товара будет продано?
1. Для первого цеха Q = \sqrt{2L} \implies L = \frac{Q^2}{2}. Фирма не несет постоянных издержек и использует только труд \implies TC=wL. Поскольку w=1, то
TC_1(q_1) = \frac{q_1^2}{2}
Для второго цеха не имеет смысла нанимать более 25 рабочих, так как каждый следующий нанятый работник не увеличивает объем произведенной продукции. При L\leq 25 имеем Q = 5 - \sqrt{25 - L} \implies L = 10Q - Q^2, Q\leq 5.
Тогда TC_2(q_2)=10q_2-q_2^2, q_2\leq 5. Выведем функцию общих издержек. q_1 + q_2 = Q \implies q_1 = Q - q_2. TC = TC_1 + TC_2. Тогда TC = \frac{1}{2}(Q - q_2)^2 + 10q_2 - q_2^2.
При этом должны соблюдаться оба ограничения q_2\in[0;5] и q_2\in[0; Q] или же \left\{ \begin{array}{l} q_2 \in [0; 5], \\ q_2 \in [0; Q]. \end{array} \right. Проминимизируем получившуюся функцию при условии данного ограничения. Заметим, что данная функция является параболой с ветвями вниз, с вершиной q_2=10-Q. Иными словами, в точке q_2=10-Q достигается максимум издержек. Необходимо рассмотреть несколько случаев.
1 случай
Q\in[0; 5]\implies q_2\in[0; Q]. (10-Q)\geq 5, то есть вершина параболы выходит за допустимую область для q_2. Поскольку функция издержек возрастает по q_2 от нуля вплоть до вершины, то минимальное значение она принимает при q_2=0.
То есть при Q\in[0;5]TC(Q)=Q^2/2 Графическая иллюстрация:
2 случай
Q\in[5; 10]\implies q_2\in[0; 5]. (10-Q)\in[0; 5], то есть вершина параболы входит в допустимую область для q_2. Поскольку функция издержек возрастает по q_2 от нуля до вершины, а затем убывает до q_2=5 то минимальное значение она принимает либо при q_2=0, либо при q_2=5, то есть на концах отрезка. Иными словами, необходимо сравнить издержки при q_2=0\implies q-1=Q и при q_2=5\implies q_1=Q-5. Графическая иллюстрация:
q_2 = 0 \Rightarrow TC(Q) = \frac{Q^2}{2}, \sim \\ q_2 = 5 \Rightarrow q_1 = Q - 5 \Rightarrow TC(Q) = 25 + \frac{1}{2}(Q - 5)^2
Сравнив данные функции, получим: TC(Q) = \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [5; 7,5] \\ 25 + \frac{1}{2}(Q - 5)^2, & Q \in [7,5; 10] \end{cases}
3 случай
Q\geq 10\implies q_2\in[0; 5]. При данных значениях Q вершина параболы (10-Q) меньше 0, следовательно функция издержек убывает по q_2 при всех допустимых значениях q_2, то есть минимум достигается при q_2=5. Таким образом, TC(Q)=25+1/2(Q-5)^2 при Q\geq 10.
Итого TC(Q) = \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; 7,5] \\ 25 + \frac{1}{2}(Q - 5)^2, & Q \geq 7,5 \end{cases}
В таком случае MC(Q) = \begin{cases} Q, & Q \in [0; 7,5] \\ Q - 5, & Q \geq 7,5 \end{cases}
Предложение фирмы можно найти графически:
К аналогичному результату можно прийти сравнивая прибыли на разных участках в зависимости от цены:
PR_1(p) = \frac{p^2}{2}, \sim PR_2(p) = p(p+5) - 25 - \frac{p^2}{2} = \frac{p^2}{2} + 5(p - 5)
При p=5 фирме безразлично, на каком участке находиться (производить Q=5 или Q=10 ). Предложение фирмы в таком случае: Q_s(P) = \begin{cases} P, & P \in [0; 5] \\ P + 5, & P \geq 5 \end{cases}
Фирма использует оба цеха при P\geq 5.
2. P_d=10-Q/3, выручка монополиста TR=10Q-Q^2/3. В таком случае прибыль запишется в виде: PR(Q) = \begin{cases} 10Q - \frac{Q^2}{3} - \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; 7{,}5] \\ 10Q - \frac{Q^2}{3} - 25 - \frac{1}{2}(Q - 5)^2, & Q \geq 7{,}5 \end{cases}
Максимизируя получившееся выражение на соответствующих участках получим точки Q=6 на первом и Q=9. Сравнивая значения прибыли при данных объемах, получим, что PR(6)=PR(9)=30. Таким образом, PR_{max}=30 достигается при Q=6 или Q=9.
3. При Q=6, P=8, а при Q=9 P=7. Очевидно, что при потолке цены выше 7, максимальный объем проданного товара фирмой-монополистом равен 9 (т.к. при P=7 фирма получает максимальную прибыль). По мере уменьшения потолка цены вплоть до пересечения с графиком MC, изменяется график предельной выручки монополиста (график предельной выручки обозначен красным цветом):
При данном значении потолка цены (P_{max}=6,25) максимальная прибыль для фирмы-монополиста достигается при Q=11,25, что следует из сравнения площадей под графиками предельных издержек и предельной выручки. Несложно заметить, что данное значение выпуска является максимальным.
К данному результату можно было прийти аналитически, сравнивая прибыли при всех возможных значениях потолка цены. Откуда следует зависимость оптимального объема выпуска от потолка цены:
Q^*(P_{\text{max}}) = \begin{cases} 30 - 3P_{\text{max}}, & P_{\text{max}} \in [6{,}25; 7] \\ P_{\text{max}} + 5, & P_{\text{max}} \in [5; 6{,}25] \\ P_{\text{max}}, & P_{\text{max}} \in [0; 5] \end{cases}
Таким образом, государство должно установить потолок цены P_{max}=6,25. Будет продано Q=11,25