Задача 3 ОЧ-2018 10 класс
У некоторой фирмы есть два цеха, где производится один и тот же товар . Фирма использует в производстве только труд, не несет постоянных издержек и является совершенным конкурентом на рынке труда, заработная плата равна . Зависимость количества выпущенной продукции от количества нанятых рабочих (, не обязательно целое число) в первом цехе описывается функцией . А во втором цехе:
-
Пусть фирма является совершенным конкурентом на рынке товара и может использовать оба цеха. Выведите общие издержки фирмы в зависимости от количества произведенной продукции, функцию предложения фирмы. При каких значениях цены фирма будет использовать оба цеха?
-
Предположим теперь, что фирма является монополистом на рынке товара . Спрос задаётся уравнением . При каком объёме производства прибыль фирмы максимальна? Какую прибыль получит фирма?
-
Какой потолок цены должно установить государство, если оно желает, чтобы на рынке было продано как можно больше товара ? Сколько товара будет продано?
Ответ
- Для первого цеха . Фирма не несет постоянных издержек и использует только труд . Поскольку , то
Для второго цеха не имеет смысла нанимать более рабочих, так как каждый следующий нанятый работник не увеличивает объем произведенной продукции. При имеем , .
Тогда , . Выведем функцию общих издержек. Тогда
При этом должны соблюдаться оба ограничения и или же Проминимизируем получившуюся функцию при условии данного ограничения. Заметим, что данная функция является параболой с ветвями вниз, с вершиной . Иными словами, в точке достигается максимум издержек. Необходимо рассмотреть несколько случаев.
1 случай
. , то есть вершина параболы выходит за допустимую область для . Поскольку функция издержек возрастает по от нуля вплоть до вершины, то минимальное значение она принимает при .
То есть при Графическая иллюстрация:
2 случай
. , то есть вершина параболы входит в допустимую область для . Поскольку функция издержек возрастает по от нуля до вершины, а затем убывает до то минимальное значение она принимает либо при , либо при , то есть на концах отрезка. Иными словами, необходимо сравнить издержки при и при . Графическая иллюстрация:
Сравнив данные функции, получим:
3 случай
. При данных значениях вершина параболы меньше , следовательно функция издержек убывает по при всех допустимых значениях , то есть минимум достигается при . Таким образом, при .
Итого
В таком случае
Предложение фирмы можно найти графически:
К аналогичному результату можно прийти сравнивая прибыли на разных участках в зависимости от цены:
При фирме безразлично, на каком участке находиться (производить или ). Предложение фирмы в таком случае:
Фирма использует оба цеха при .
2. , выручка монополиста . В таком случае прибыль запишется в виде:
Максимизируя получившееся выражение на соответствующих участках получим точки на первом и . Сравнивая значения прибыли при данных объемах, получим, что . Таким образом, достигается при или .
- При , , а при . Очевидно, что при потолке цены выше , максимальный объем проданного товара фирмой-монополистом равен (т.к. при фирма получает максимальную прибыль). По мере уменьшения потолка цены вплоть до пересечения с графиком , изменяется график предельной выручки монополиста (график предельной выручки обозначен красным цветом):
При данном значении потолка цены максимальная прибыль для фирмы-монополиста достигается при , что следует из сравнения площадей под графиками предельных издержек и предельной выручки. Несложно заметить, что данное значение выпуска является максимальным.
К данному результату можно было прийти аналитически, сравнивая прибыли при всех возможных значениях потолка цены. Откуда следует зависимость оптимального объема выпуска от потолка цены:
Таким образом, государство должно установить потолок цены . Будет продано