1. Для первого цеха Q = \sqrt{2L} \implies L = \frac{Q^2}{2}. Фирма не несет постоянных издержек и использует только труд \implies TC=wL. Поскольку w=1, то

TC_1(q_1) = \frac{q_1^2}{2}

Для второго цеха не имеет смысла нанимать более 25 рабочих, так как каждый следующий нанятый работник не увеличивает объем произведенной продукции. При L\leq 25 имеем Q = 5 - \sqrt{25 - L} \implies L = 10Q - Q^2, Q\leq 5.

Тогда TC_2(q_2)=10q_2-q_2^2, q_2\leq 5. Выведем функцию общих издержек. q_1 + q_2 = Q \implies q_1 = Q - q_2. TC = TC_1 + TC_2. Тогда TC = \frac{1}{2}(Q - q_2)^2 + 10q_2 - q_2^2.

При этом должны соблюдаться оба ограничения q_2\in[0;5] и q_2\in[0; Q] или же \left\{ \begin{array}{l} q_2 \in [0; 5], \\ q_2 \in [0; Q]. \end{array} \right. Проминимизируем получившуюся функцию при условии данного ограничения. Заметим, что данная функция является параболой с ветвями вниз, с вершиной q_2=10-Q. Иными словами, в точке q_2=10-Q достигается максимум издержек. Необходимо рассмотреть несколько случаев.

1 случай

Q\in[0; 5]\implies q_2\in[0; Q]. (10-Q)\geq 5, то есть вершина параболы выходит за допустимую область для q_2. Поскольку функция издержек возрастает по q_2 от нуля вплоть до вершины, то минимальное значение она принимает при q_2=0.

То есть при Q\in[0;5]TC(Q)=Q^2/2 Графическая иллюстрация:

2 случай

Q\in[5; 10]\implies q_2\in[0; 5]. (10-Q)\in[0; 5], то есть вершина параболы входит в допустимую область для q_2. Поскольку функция издержек возрастает по q_2 от нуля до вершины, а затем убывает до q_2=5 то минимальное значение она принимает либо при q_2=0, либо при q_2=5, то есть на концах отрезка. Иными словами, необходимо сравнить издержки при q_2=0\implies q-1=Q и при q_2=5\implies q_1=Q-5. Графическая иллюстрация:

q_2 = 0 \Rightarrow TC(Q) = \frac{Q^2}{2}, \sim \\ q_2 = 5 \Rightarrow q_1 = Q - 5 \Rightarrow TC(Q) = 25 + \frac{1}{2}(Q - 5)^2

Сравнив данные функции, получим: TC(Q) = \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [5; 7,5] \\ 25 + \frac{1}{2}(Q - 5)^2, & Q \in [7,5; 10] \end{cases}

3 случай

Q\geq 10\implies q_2\in[0; 5]. При данных значениях Q вершина параболы (10-Q) меньше 0, следовательно функция издержек убывает по q_2 при всех допустимых значениях q_2, то есть минимум достигается при q_2=5. Таким образом, TC(Q)=25+1/2(Q-5)^2 при Q\geq 10.

Итого TC(Q) = \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; 7,5] \\ 25 + \frac{1}{2}(Q - 5)^2, & Q \geq 7,5 \end{cases}

В таком случае MC(Q) = \begin{cases} Q, & Q \in [0; 7,5] \\ Q - 5, & Q \geq 7,5 \end{cases}

Предложение фирмы можно найти графически:

К аналогичному результату можно прийти сравнивая прибыли на разных участках в зависимости от цены:

PR_1(p) = \frac{p^2}{2}, \sim PR_2(p) = p(p+5) - 25 - \frac{p^2}{2} = \frac{p^2}{2} + 5(p - 5)

При p=5 фирме безразлично, на каком участке находиться (производить Q=5 или Q=10 ). Предложение фирмы в таком случае: Q_s(P) = \begin{cases} P, & P \in [0; 5] \\ P + 5, & P \geq 5 \end{cases}

Фирма использует оба цеха при P\geq 5.

2. P_d=10-Q/3, выручка монополиста TR=10Q-Q^2/3. В таком случае прибыль запишется в виде: PR(Q) = \begin{cases} 10Q - \frac{Q^2}{3} - \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; 7{,}5] \\ 10Q - \frac{Q^2}{3} - 25 - \frac{1}{2}(Q - 5)^2, & Q \geq 7{,}5 \end{cases}

Максимизируя получившееся выражение на соответствующих участках получим точки Q=6 на первом и Q=9. Сравнивая значения прибыли при данных объемах, получим, что PR(6)=PR(9)=30. Таким образом, PR_{max}=30 достигается при Q=6 или Q=9.

3. При Q=6, P=8, а при Q=9 P=7. Очевидно, что при потолке цены выше 7, максимальный объем проданного товара фирмой-монополистом равен 9 (т.к. при P=7 фирма получает максимальную прибыль). По мере уменьшения потолка цены вплоть до пересечения с графиком MC, изменяется график предельной выручки монополиста (график предельной выручки обозначен красным цветом):

При данном значении потолка цены (P_{max}=6,25) максимальная прибыль для фирмы-монополиста достигается при Q=11,25, что следует из сравнения площадей под графиками предельных издержек и предельной выручки. Несложно заметить, что данное значение выпуска является максимальным.

К данному результату можно было прийти аналитически, сравнивая прибыли при всех возможных значениях потолка цены. Откуда следует зависимость оптимального объема выпуска от потолка цены:

Q^*(P_{\text{max}}) = \begin{cases} 30 - 3P_{\text{max}}, & P_{\text{max}} \in [6{,}25; 7] \\ P_{\text{max}} + 5, & P_{\text{max}} \in [5; 6{,}25] \\ P_{\text{max}}, & P_{\text{max}} \in [0; 5] \end{cases}

Таким образом, государство должно установить потолок цены P_{max}=6,25. Будет продано Q=11,25