Гистерезис безработицы
Рассмотрите следующую модель рецессионой экономики.
- Численность экономически активного населения страны (так называемых работников) составляет 1 миллион человек и не меняется.
- В конце нулевого месяца (t=0) безработица находится на своём естественном уровне, равном u^*=5\%. Естественный уровень безработицы не меняется.
- Экономика переживает спад, поэтому в начале каждого следующего из трёх месяцев (t=1;2;3) фирмы увольняют некоторое количество работников, в результате чего уровень безработицы повышается на 1 процентный пункт по сравнению с концом предыдущего месяца. При этом никто из безработных не получает предложения о трудоустройстве.
- Продуктивность каждого трудоустроенного работника в конце нулевого месяца равна 100 единиц в месяц, что превышает продуктивность любого безработного в тот же момент времени. Если работник в течение какого-то месяца является безработным, то к концу этого месяца его продуктивность падает в \alpha=1,25 раз в силу того, что он не практикуется. Если работник в течение какого-то месяца является трудоустроенным, то за этот месяц его продуктивность не меняется.
- Фактический совокупный выпуск Y(t) в месяце t создаётся только трудоустроенными работниками и определяется как сумма их производительностей. Потенциальный совокупный выпуск Y^*(t) в месяце t определяется как общее количество единиц продукции, которое могло бы быть произведено экономикой за месяц t, если бы безработица была на своём естественном уровне.
(a) Найдите величины фактического совокупного выпуска Y(0) и Y(3). Определите величину изменения реального выпуска за три месяца с Y(0) до Y(3).
(b) Найдите величину потенциального совокупного выпуска Y^*(0). Оцените сверху величину потенциального совокупного выпуска Y^*(3) максимально точно.
(c) Оцените величину рецессионного разрыва совокупного выпуска Y(3) от потенциального уровня Y^*(3) (в процентах).
(d) Оцените, на сколько процентов за три месяца сократился потенциальный выпуск с Y^*(0) до Y^*(3) (эффект гистерезиса).
(a) Функция уровня безработицы выглядит следующим образом:
u(t)=u^*+0,01t=0,05+0,01t
Численность экономически активного населения обозначим через LF. Согласно условию, LF=1000000. Количество безработных в месяц t равно
U(t)=u(t)*LF
Количество трудоустроенных в месяц t равно
E(t)=LF-U(t)=(1-u(t))LF.
Обозначим за H(0) производительность каждого трудоустроенного работника на конец нулевого месяца:
H(0)=100.
Известно, что безработные остаются безработными из месяца в месяц, производительность каждого трудоустроенного работника постоянна, а производительность каждого безработного падает в \alpha раз в месяц. Следовательно, функция производительности любого работника, трудоустроенного на конец нулевого месяца, может быть записана в следующем виде:
H(t) = H(0) \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^t = 100 \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^t
где t – количество месяцев, в течение которых работник является безработным.
Фактический совокупный выпуск в нулевом месяце составляет
Y(0) = E(0) \cdot H(0) = (1 - u(0)) LF \cdot H(0) = (1 - (u^* + 0,01 \cdot 0)) LF \cdot H(0) = (1 - u^*) LF \cdot H(0)=
= (1 - 0{,}05) \cdot 1\,000\,000 \cdot 100 = {95\,000\,000}
Фактический совокупный выпуск в третьем месяце составляет
Y(3) = E(3) \cdot H(0) = (1 - u(3)) LF \cdot H(0) = (1 - (u^* + 0,01 \cdot 3)) LF \cdot H(0)=
= (1 - (0{,}05 + 0{,}01 \cdot 3)) \cdot 1\,000\,000 \cdot 100 = {92\,000\,000}
Изменение реального выпуска за 3 месяца с Y(0) до Y(3) составляет
\frac{Y(0) - Y(3)}{Y(0)} = \frac{95\,000\,000 - 92\,000\,000}{95\,000\,000} \approx {3{,}16\%}
(b) В нулевом месяце фактический совокупный выпуск равен потенциальному, так как безработица находится на естественном уровне:
Y^*(0)=Y(0)={95\,000\,000}.
Согласно определению, величину потенциального совокупного выпуска Y^*(3) нужно рассчитывать, принимая уровень безработицы за естественный (u^*=0,05). Так как продуктивность работников (в том числе и безработных) в третьем периоде различна, то оценка величины Y^*(3) зависит от того, какие именно работники принимаются за 5\% безработных. Поэтому в данной модели невозможно однозначно определить величину потенциального совокупного выпуска Y^*(3), однако можно оценить её сверху.
Оценивая Y^*(3), примем за 5\% безработных тех работников, которые были безработными в конце нулевого периода, и предположим, что все остальные 95\% работников трудоустроены (фактически только часть из них трудоустроена в третьем периоде).
В этих условиях потенциальный совокупный выпуск создаётся трудом тех работников, которые
- по-прежнему трудоустроены в 3 -м периоде;
- были трудоустроены во 2 -м периоде, но стали безработными в 3 -м;
- были трудоустроены в 1 -м периоде, но стали безработными во 2 -м и остались безработными в 3 -м периоде;
- были трудоустроены в 0 -м периоде, но стали безработными в 1 -м и остались безработными во 2 -м и 3 -м периодах.
Те работники, которые не были трудоустроены в 0 -м периоде и оставались безработными в 1 -м, 2 -м и 3 -м периодах принимаются за требуемые 5\% безработных, не участвующих в производстве Y^*(3). Эти работники наименее производительны как в 0 -м, так и в 3 -м периоде.
Такая оценка \hat{Y}(3) является максимальным возможным уровнем потенциального совокупного выпуска, так как принимается, что в производстве участвуют самые производительные работники.
Итак, потенциальный совокупный выпуск в третьем месяце не превышает
\hat{Y}(3) = E(3) \cdot H(0) + [E(2) - E(3)] \cdot H(1) + [E(1) - E(2)] \cdot H(2) + [E(0) - E(1)] \cdot H(3)
\hat{Y}(3) = (1 - u(3)) LF \cdot H(0) + [(1 - u(2)) LF - (1 - u(3)) LF] \cdot H(1) + [(1 - u(1)) LF - (1 - u(2)) LF] \cdot H(2) + [(1 - u(0)) LF - (1 - u(1)) LF] \cdot H(3)
\hat{Y}(3) = LF \cdot \left( (1 - u(3)) \cdot H(0) + [u(3) - u(2)] \cdot H(1) + [u(2) - u(1)] \cdot H(2) + [u(1) - u(0)] \cdot H(3) \right)
\hat{Y}(3) = LF \cdot H(0) \cdot \left( (1 - u(3)) \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^0 + [u(3) - u(2)] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^1 + [u(2) - u(1)] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^2 + [u(1) - u(0)] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^3 \right)
\hat{Y}(3) = 1\,000\,000 \cdot 100 \cdot \left( (1 - 0.08) \cdot 1 + [0.08 - 0.07] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^1 + [0.07 - 0.06] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^2 + [0.06 - 0.05] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^3 \right)
\hat{Y}(3) = 1\,000\,000 \cdot 100 \cdot \left( 0.92 + 0.01 \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^1 + 0.01 \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^2 + 0.01 \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^3 \right)
Полученная формула позволяет рассчитать значение \hat{Y}(3) при разных значениях \alpha.
Если \alpha=1,25 то \hat{Y}(3)=93952000.
(c) Рецессионный разрыв выпуска составляет
\frac{\hat{Y}(3) - Y(3)}{\hat{Y}(3)} = \frac{93\,952\,000 - 92\,000\,000}{93\,952\,000} \approx {2{,}08\%}
(d) Сокращение потенциального выпуска составляет
\frac{Y^*(0) - \hat{Y}(3)}{Y^*(0)} = \frac{95\,000\,000 - 93\,952\,000}{95\,000\,000} \approx {1{,}10\%}
В действительности изменение потенциального совокупного выпуска превышает полученную величину, так как она рассчитывалась через \hat{Y}(3) – верхнюю оценку Y^*(3).