(a) Функция уровня безработицы выглядит следующим образом:

u(t)=u^*+0,01t=0,05+0,01t

Численность экономически активного населения обозначим через LF. Согласно условию, LF=1000000. Количество безработных в месяц t равно

U(t)=u(t)*LF

Количество трудоустроенных в месяц t равно

E(t)=LF-U(t)=(1-u(t))LF.

Обозначим за H(0) производительность каждого трудоустроенного работника на конец нулевого месяца:

H(0)=100.

Известно, что безработные остаются безработными из месяца в месяц, производительность каждого трудоустроенного работника постоянна, а производительность каждого безработного падает в \alpha раз в месяц. Следовательно, функция производительности любого работника, трудоустроенного на конец нулевого месяца, может быть записана в следующем виде:

H(t) = H(0) \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^t = 100 \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^t

где t – количество месяцев, в течение которых работник является безработным.

Фактический совокупный выпуск в нулевом месяце составляет

Y(0) = E(0) \cdot H(0) = (1 - u(0)) LF \cdot H(0) = (1 - (u^* + 0,01 \cdot 0)) LF \cdot H(0) = (1 - u^*) LF \cdot H(0)=

= (1 - 0{,}05) \cdot 1\,000\,000 \cdot 100 = {95\,000\,000}

Фактический совокупный выпуск в третьем месяце составляет

Y(3) = E(3) \cdot H(0) = (1 - u(3)) LF \cdot H(0) = (1 - (u^* + 0,01 \cdot 3)) LF \cdot H(0)=

= (1 - (0{,}05 + 0{,}01 \cdot 3)) \cdot 1\,000\,000 \cdot 100 = {92\,000\,000}

Изменение реального выпуска за 3 месяца с Y(0) до Y(3) составляет

\frac{Y(0) - Y(3)}{Y(0)} = \frac{95\,000\,000 - 92\,000\,000}{95\,000\,000} \approx {3{,}16\%}

(b) В нулевом месяце фактический совокупный выпуск равен потенциальному, так как безработица находится на естественном уровне:

Y^*(0)=Y(0)={95\,000\,000}.

Согласно определению, величину потенциального совокупного выпуска Y^*(3) нужно рассчитывать, принимая уровень безработицы за естественный (u^*=0,05). Так как продуктивность работников (в том числе и безработных) в третьем периоде различна, то оценка величины Y^*(3) зависит от того, какие именно работники принимаются за 5\% безработных. Поэтому в данной модели невозможно однозначно определить величину потенциального совокупного выпуска Y^*(3), однако можно оценить её сверху.

Оценивая Y^*(3), примем за 5\% безработных тех работников, которые были безработными в конце нулевого периода, и предположим, что все остальные 95\% работников трудоустроены (фактически только часть из них трудоустроена в третьем периоде).

В этих условиях потенциальный совокупный выпуск создаётся трудом тех работников, которые

по-прежнему трудоустроены в 3 -м периоде;
были трудоустроены во 2 -м периоде, но стали безработными в 3 -м;
были трудоустроены в 1 -м периоде, но стали безработными во 2 -м и остались безработными в 3 -м периоде;
были трудоустроены в 0 -м периоде, но стали безработными в 1 -м и остались безработными во 2 -м и 3 -м периодах.

Те работники, которые не были трудоустроены в 0 -м периоде и оставались безработными в 1 -м, 2 -м и 3 -м периодах принимаются за требуемые 5\% безработных, не участвующих в производстве Y^*(3). Эти работники наименее производительны как в 0 -м, так и в 3 -м периоде.

Такая оценка \hat{Y}(3) является максимальным возможным уровнем потенциального совокупного выпуска, так как принимается, что в производстве участвуют самые производительные работники.

Итак, потенциальный совокупный выпуск в третьем месяце не превышает

\hat{Y}(3) = E(3) \cdot H(0) + [E(2) - E(3)] \cdot H(1) + [E(1) - E(2)] \cdot H(2) + [E(0) - E(1)] \cdot H(3)

\hat{Y}(3) = (1 - u(3)) LF \cdot H(0) + [(1 - u(2)) LF - (1 - u(3)) LF] \cdot H(1) + [(1 - u(1)) LF - (1 - u(2)) LF] \cdot H(2) + [(1 - u(0)) LF - (1 - u(1)) LF] \cdot H(3)

\hat{Y}(3) = LF \cdot \left( (1 - u(3)) \cdot H(0) + [u(3) - u(2)] \cdot H(1) + [u(2) - u(1)] \cdot H(2) + [u(1) - u(0)] \cdot H(3) \right)

\hat{Y}(3) = LF \cdot H(0) \cdot \left( (1 - u(3)) \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^0 + [u(3) - u(2)] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^1 + [u(2) - u(1)] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^2 + [u(1) - u(0)] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^3 \right)

\hat{Y}(3) = 1\,000\,000 \cdot 100 \cdot \left( (1 - 0.08) \cdot 1 + [0.08 - 0.07] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^1 + [0.07 - 0.06] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^2 + [0.06 - 0.05] \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^3 \right)

\hat{Y}(3) = 1\,000\,000 \cdot 100 \cdot \left( 0.92 + 0.01 \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^1 + 0.01 \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^2 + 0.01 \cdot \left(\frac{1}{\alpha}\right)^3 \right)

Полученная формула позволяет рассчитать значение \hat{Y}(3) при разных значениях \alpha.

Если \alpha=1,25 то \hat{Y}(3)=93952000.

(c) Рецессионный разрыв выпуска составляет

\frac{\hat{Y}(3) - Y(3)}{\hat{Y}(3)} = \frac{93\,952\,000 - 92\,000\,000}{93\,952\,000} \approx {2{,}08\%}

(d) Сокращение потенциального выпуска составляет

\frac{Y^*(0) - \hat{Y}(3)}{Y^*(0)} = \frac{95\,000\,000 - 93\,952\,000}{95\,000\,000} \approx {1{,}10\%}

В действительности изменение потенциального совокупного выпуска превышает полученную величину, так как она рассчитывалась через \hat{Y}(3) – верхнюю оценку Y^*(3).