а) Составим функцию прибыли фирмы: \pi (Q) = P(Q)Q − TC(Q) + f (Q) = (80 − Q)Q − 20Q + aQ. Фирма максимизирует эту функцию по Q, оптимальный выпуск находится в вершине параболы: Q* = (60 + a)/2. Нам нужно, чтобы этот выпуск равнялся 60, откуда Q* = (60 + a)/2 = 60, a = 60, расходы равны S = aQ = 60 \cdot 60 = 3600.

Ответ: a = 60, S = 3600.

б) Теперь функция прибыли фирмы примет вид \pi (Q) = P(Q)Q − TC(Q) + f(Q) = (80− Q)Q − 20Q + aQ². Фирма максимизирует эту функцию по Q, оптимальный выпуск находится в вершине параболы: Q* = 30/(1 − a). Нам нужно, чтобы этот выпуск равнялся 60, откуда Q* = 30/(1− a) = 60, a = 1/2, расходы равны S = aQ² = 60 \cdot 60/2 = 1800. Расходы при квадратичной субсидии получились меньше.

Ответ: a = 1/2, S = 1800.

в) Функция прибыли фирмы примет вид \pi (Q) = P (Q)Q −TC(Q)+ f(Q) = (80−Q)Q − 20Q + f (Q) = 60Q − Q² + f(Q). Будем решать задачу в два шага:

1. Докажем, что при любой схеме выплаты субсидии S = f(Q), при которой фирма выбирает выпуск 60, расходы не меньше 900.

2. Приведем функцию f* (Q), при которой расходы равны 900. Из утверждений 1 и 2 будет следовать, что f* (Q) является искомой оптимальной функцией (возможно, не единственной, но находить все оптимальные f* не требуется). Чтобы доказать оценку S \geq 900, заметим, что оптимальность выпуска 60 означает, что для любого Q \geq 0 должно выполняться 60 \cdot 60 − 602 + f (60) \geq 60Q − Q² + f(Q). Отсюда для любого Q \geq 0 f(60) \geq 60Q − Q² + f(Q) \geq 60Q − Q² + 0, где мы использовали неотрицательность f(Q). Полученное неравенство является наиболее сильным при Q таком, что правая часть 60Q−Q² максимальна, то есть при Q = 30. Значит, f(60) \geq 60 \cdot 30 − 302 = 900. Можно было доказать оценку S \geq 900 и взяв альтернативный выпуск 30 сразу: в любом случае, для фирмы выпуск 60 должен оказаться не хуже, чем, в том числе, ее монопольный выпуск 30. Отсюда можно сразу получить неравенство 0+ f(60) \geq 900+ f(30) \geq 900. Теперь приведем пример функции f(Q), такой что фирма выбирает выпуск 60 и расходы равны 900. Пусть

f^*(Q) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & Q \neq 60; \\ 900, & Q = 60. \end{array} \right.

Иными словами, субсидия платится только за выпуск 60 и в размере 900. При Q \neq 60, прибыль как и в отсутствие вмешательства равна 60Q − Q², а при Q = 60 она равна 900. В итоге оба выпуска 30 и 60 будут давать прибыль 900, и она будет максимальной. По условию, фирма выберет наибольший из этих двух выпусков, то есть 60, и расходы будут равны 900. Значит, f*(Q) подходит.

Ответ: f*(Q) дана выше, S = 900.

Примечание 1: Конечно, подходит и множество других функций f(Q), например

f(Q) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & Q < 60; \\ 900, & Q \geq 60. \end{array} \right.

Вообще, подойдет любая неотрицательная функция f, такая что:

1. f (60) = 900;

2. f(Q) \leq Q² − 60Q + 900 для любого Q \leq 60;

3. f(Q) < Q² − 60Q + 900 для любого Q \in (60; 80].

Примечание 2: один из естественных, но неверных подходов к задаче такой: поскольку квадратичная субсидия оказалась лучше линейной, будем повышать степень. Нетрудно доказать, что при f (Q) = aQⁿ из равенства производной прибыли нулю получается, что нужно брать a(n) = \frac{1}{60^{n−2}n}, тогда расходы будут равны 3600 n. Получается, что увеличивая n, мы можем получить сколь угодно малые расходы, что противоречит нашему ответу 900 выше. В чем проблема с этим рассуждением? Дело в том, что при n \geq 4 и S = a(n)Qⁿ 60 не будет точкой максимума прибыли –– равенства производной нулю для этого недостаточно.

Примечание 3: данная субсидия названа «дважды оптимальной», так как она приводит одновременно 1) к установлению оптимального для общества выпуска; 2) к минимальным расходам на выплату субсидии при достижении этого выпуска.