Волшебное зелье
До кризиса в городе N проживали M волшебников, из них ровно 45\% имели высшее, 30\% — среднее, а остальные — начальное волшебное образование. Все волшебники для своих волшебных нужд предъявляли спрос на волшебное зелье. В таблице представлены данные об индивидуальном спросе волшебника на волшебное зелье, где Q — величина спроса в литрах, а P — цена литра волшебного зелья в рубликах.
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Образование} & \text{Спрос} \\ \hline \text{высшее} & Q = 10 - 2P \\ \hline \text{среднее} & Q = 30 - 3P \\ \hline \text{начальное} & Q = 60 - 4P \\ \hline \end{array}
Когда начался экономический кризис, часть волшебников уехали из города N, при этом число уехавших волшебников, имевших начальное образование, составило ровно 120\% от уехавших волшебников, имевших среднее образование, и 60\% от числа уехавших волшебников, имевших высшее образование. Известно, что в городе осталась только четверть волшебников с начальным волшебным образованием, а из числа волшебников с высшим образованием осталось не более 40 человек.
1) Оцените, сколько волшебников проживало в городе N до кризиса.
2) Определите, какой была функция суммарного рыночного спроса волшебников на волшебное зелье до кризиса.
Математическая основа задачи заимствована из пособия: Белоносов В.С., Фокин М.В. Задачи вступительных экзаменов по математике: Учеб. пособие. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2005.
Обозначим через X,Y и Z численность волшебников с высшим, средним и начальным образованием, соответственно. Пусть до кризиса в городе N проживали X_0, Y_0 и Z_0 волшебников, уехали соответственно X_1, Y_1 и Z_1, а осталось X_2, Y_2 и Z_2 волшебников.
Удобно информацию из условия записать в таблицу:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Уровень образования} & \text{Жили в городе \(N\) до кризиса} & \text{Уехали из города \(N\)} & \text{Остались в городе \(N\)} \\ \hline \text{Высшее} & X_0 = 0{,}45 \cdot M = \frac{9}{20} \cdot M & X_1 & X_2 = (X_0 - X_1) \leq 40 \\ \hline \text{Среднее} & Y_0 = 0{,}3 \cdot M = \frac{3}{10} \cdot M & Y_1 & Y_2 = Y_0 - Y_1 \\ \hline \text{Начальное} & Z_0 = 0{,}25 \cdot M = \frac{1}{4} \cdot M & Z_1 = 1{,}2 \cdot Y_1 = \frac{6}{5} \cdot Y_1 \text{ или } Z_1 = 0{,}6 \cdot X_1 = \frac{3}{5} \cdot X_1 \text{ или } Y_1 = \frac{1}{2} \cdot X_1 & Z_2 = \frac{1}{4} \cdot Z_0 = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{4} \cdot M \right) \\ \hline \end{array}
Так как число волшебников в любом случае может быть только целым числом, то M можно представить как 20*n, или 4*5*n, где n – это натуральное число. В этом случае X_0, Y_0 и Z_0 будут целыми числами.
Число оставшихся в городе волшебников с начальным образованием Z_2 тоже должно быть целым числом, а это значит, что n следует представить как 4*k, где k – это натуральное число. Получаем, что M=4*5*4*k, а Z_2=5*k. А так как Z_1 в 3 раза больше Z_2, то получаем, что Z_1=3*5*k.
Теперь мы можем выразить X_1. Итак, X_1=5*5*k, т.е. оно тоже целое.
Конечно, Y_1 тоже должно быть целым, следовательно, мы должны представить k, как 2*a, где a – это тоже натуральное число.
Теперь рассчитаем X_2. В наших обозначениях X_0=9*4*2*a. X_1=5*5*2*a. Получаем X_2=a(9*4*2-5*5*2)=a(72-50)=a*22. Но по условию X_2 \leq 40, т.е. a*22\leq 40. А так как a – это натуральное число, то оно может принимать здесь только одно значение a=1.
В итоге мы получаем, что M=4*5**4*2*1=160. То есть до кризиса в городе проживало 160 волшебников.
б) Суммарный рыночный спрос – это сумма индивидуальных спросов. Сначала разберемся с групповыми функциями спроса волшебников:
1) Волшебники с высшим образованием. До кризиса их численность в городе N составляла 0,45*160=72 человека. Значит их суммарный спрос будет равен Q_x=72*(10-2P)=720-144P. И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже 5 рубликов.
2) Волшебники со средним образованием. До кризиса их численность в городе N составляла 0,3*160=48 человек. Значит, их суммарный спрос будет равен Q_y=48*(30-3P)=1440-144P. И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже 10 рубликов.
3) Волшебники с начальным образованием. До кризиса их численность в городе N составляла 0,25*160=40 человек. Значит, их суммарный спрос будет равен Q_z=40*(60-4P)=2400-160P. И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже 15 рубликов.
Получаем, что при цене ниже 5 рубликов за литр, спрос на волшебное зелье предъявляли все волшебники, при цене от 5 до 10 рубликов – только волшебники со средним и начальным образованием, а при цене от 10 до 15 рубликов уже только волшебники с начальным образованием.
Функция суммарного рыночного спроса будет иметь вид:
Q = \begin{cases} 0, & \text{при } P \geq 15; \\ 2400 - 160P, & \text{при } 10 \leq P \leq 15; \\ 3840 - 304P, & \text{при } 5 \leq P \leq 10; \\ 4560 - 448P, & \text{при } 0 \leq P \leq 5. \end{cases}
Ответ:
а) До кризиса в городе N проживало 160 волшебников.
б) До кризиса функция суммарного рыночного спроса волшебников на волшебное зелье имела вид:
Q = \begin{cases} 0, & \text{при } P \geq 15; \\ 2400 - 160P, & \text{при } 10 \leq P \leq 15; \\ 3840 - 304P, & \text{при } 5 \leq P \leq 10; \\ 4560 - 448P, & \text{при } 0 \leq P \leq 5. \end{cases}