Волшебное зелье
До кризиса в городе проживали волшебников, из них ровно имели высшее, — среднее, а остальные — начальное волшебное образование. Все волшебники для своих волшебных нужд предъявляли спрос на волшебное зелье. В таблице представлены данные об индивидуальном спросе волшебника на волшебное зелье, где — величина спроса в литрах, а — цена литра волшебного зелья в рубликах.
Когда начался экономический кризис, часть волшебников уехали из города , при этом число уехавших волшебников, имевших начальное образование, составило ровно от уехавших волшебников, имевших среднее образование, и от числа уехавших волшебников, имевших высшее образование. Известно, что в городе осталась только четверть волшебников с начальным волшебным образованием, а из числа волшебников с высшим образованием осталось не более человек.
-
Оцените, сколько волшебников проживало в городе до кризиса.
-
Определите, какой была функция суммарного рыночного спроса волшебников на волшебное зелье до кризиса.
Ответ
Математическая основа задачи заимствована из пособия: Белоносов В.С., Фокин М.В. Задачи вступительных экзаменов по математике: Учеб. пособие. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2005.
Обозначим через и численность волшебников с высшим, средним и начальным образованием, соответственно. Пусть до кризиса в городе проживали и волшебников, уехали соответственно и , а осталось и волшебников.
Удобно информацию из условия записать в таблицу:
Так как число волшебников в любом случае может быть только целым числом, то можно представить как , или , где – это натуральное число. В этом случае и будут целыми числами.
Число оставшихся в городе волшебников с начальным образованием тоже должно быть целым числом, а это значит, что следует представить как , где – это натуральное число. Получаем, что , а . А так как в раза больше , то получаем, что .
Теперь мы можем выразить . Итак, , т.е. оно тоже целое.
Конечно, тоже должно быть целым, следовательно, мы должны представить , как , где – это тоже натуральное число.
Теперь рассчитаем . В наших обозначениях . . Получаем . Но по условию , т.е. . А так как – это натуральное число, то оно может принимать здесь только одно значение .
В итоге мы получаем, что . То есть до кризиса в городе проживало волшебников.
б) Суммарный рыночный спрос – это сумма индивидуальных спросов. Сначала разберемся с групповыми функциями спроса волшебников:
-
Волшебники с высшим образованием. До кризиса их численность в городе составляла человека. Значит их суммарный спрос будет равен . И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже рубликов.
-
Волшебники со средним образованием. До кризиса их численность в городе составляла человек. Значит, их суммарный спрос будет равен . И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже рубликов.
-
Волшебники с начальным образованием. До кризиса их численность в городе составляла человек. Значит, их суммарный спрос будет равен . И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже рубликов.
Получаем, что при цене ниже рубликов за литр, спрос на волшебное зелье предъявляли все волшебники, при цене от до рубликов – только волшебники со средним и начальным образованием, а при цене от до рубликов уже только волшебники с начальным образованием.
Функция суммарного рыночного спроса будет иметь вид:
Ответ:
а) До кризиса в городе проживало волшебников.
б) До кризиса функция суммарного рыночного спроса волшебников на волшебное зелье имела вид: