Страна XY
В стране XY единственным фактором производства является труд, рабочая сила составляет 100 единиц труда. Если все они заняты в производстве товаров x или y, то каждая единица труда может произвести 2 единицы первого товара или четыре единицы второго товара. Существует и третий вид деятельности - научные исследования, проводимые в местном университете. Благодаря этим исследованиям, производительность труда может быть увеличена. Если в исследованиях заняты n единиц труда, то производительность растёт в обеих отраслях в (1+0,02n) раз по сравнению с первоначальным уровнем. Например, если 10 единиц труда отправить
на обеспечение технологического прогресса, то его уровень будет 20\%, а производительности, соответственно, станут равны 2,4 и 4,8 вместо прежних 2 и 4. Найдите уравнение кривой производственных возможностей страны XY. В ответ запишите число произведенных Y при X = 100
Производственные функции можно записать, как x=(1+0,02n)2L_x и y=(1+0,02n)4L_y (по 2 балла за каждую производственную функцию). Весь труд будет использоваться, т. к. все функции монотонно возрастают, поэтому L_x+L_y+n=100 ( 1 балл за уравнение):
\frac{x}{2(1 + 0.02n)} + \frac{y}{4(1 + 0.02n)} + L_n = 100
y = 4(1 + 0.02n)(100 - n) - 2x
( 2 балла за уравнение).
Мы получили уравнение, описывающее доступные комбинации x и y при разных значениях L_n. Чтобы получить уравнение КПВ, нужно сделать так, чтобы для каждого значения x значение y=4(1+0,02n)(100-n)-2x было максимальным. Видно, что наклон этой линии не зависит от L_n, поэтому разные значения этого параметра задают параллельные друг другу прямые, из которых нам нужно выбрать самую высокую. Для этого нужно максимизировать функцию (1+0,02n)(100-n). Это квадратичная парабола с ветвями вниз и корнями -50 и 100, значит, вершина параболы – точка максимума – будет находиться в точке 25 (посередине между корнями). Если n=25, то КПВ будет иметь вид y=450-2x ( 3 балла).
Ответ:
y=450-2x