Задача 1.2.1. Заплатили мало, накормили плохо
Прорабу Серёже нужно сдать объект, для чего ему требуется 130 часов работы неделимых гастарбайтеров. Зарплата гастарбайтера складывается из еды и фиксированного оклада 50 рублей за первые 10 часов работы (не важно, работал ли он все 10 часов, вышел на стройку — получает 50 рублей). Кормить надо только тех, кто проработал больше 10 часов. Каждый следующий час сильнее изнуряет работника, поэтому издержки на еду для каждого равны квадрату превышения времени работы гастарбайтера над нормой в 10 часов. Серёжа сам выбирает количество нанятых и режим их работы. Сережа может дискриминировать работников. Сколько будут получать нанятые, если гастарбайтеров с утра на бирже труда оказалось n человек?
\\ \\
Летняя школа по экономике РЦДП ВШЭ 2021
Если работников мало, то работать придётся всем и поровну, так как издержки на сверхурочные одинаковы и квадратичны (равенство MC ). Если работников очень много (например, больше 13 ), то смысла работать всем нет, так как высоки квазипостоянные издержки на одного работника.
Осталось лишь найти, при каком k добавление одного дополнительного работника не снизит издержки. Пусть работают поровну k\leq n работников. Тогда издержки составляют C_k = k \left( 50 + \left( \frac{130}{k} - 10 \right)^2 \right). Найдём минимум данного выражения при необязательно целых k : C_k = 50k + k \left( \frac{130^2}{k^2} - \frac{20 \cdot 130}{k} + 100 \right) = 150k + \frac{130^2}{k} - 20 \cdot 130. Проминимизируем данное выражение по неравенству Коши, тогда 150k = \frac{130^2}{k} \Rightarrow k = \frac{13\sqrt{6}}{3}. Так как 2,4< \sqrt 6<2,5, то 10<k<11. Осталось лишь сравнить C_{11} и C_{10}.
C_{10}=590, \ C_{11} = 150 \cdot 11 + \frac{130^2}{11} - 20 \cdot 130 = 10(15 \cdot 11 + 130(\frac{13}{11} - 2)) \approx 586.36. Выходит, что оптимальное количество работников равно 11.
Если n\leq 11, то все n работников получают 50+(130/n-10)^2. Если n>11, то 11 работников получают 50+(130/11-10)^2, а остальные получают 0 и не работают.