S011
Функция спроса для одного монополиста является линейной, предельные издержки постоянны и равны средним общим издержкам. Монополист знает, что при установленной им нынешней цене (P=40) он не максимизирует прибыль. Однажды он спросил своего менеджера, как изменится прибыль, если повысить цену на 35\% по сравнению с нынешней ценой. Прибыль увеличится тоже на 35\%, ответил менеджер. А если мы повысим цену на 45\% по сравнению с нынешней? Тогда прибыль, наоборот, упадет на 45\% по сравнению с нынешней прибылью, ответил менеджер.
«Это какая-то мистика» – пробормотал монополист и пошел в библиотеку за учебником по микроэкономике.
Пожалуйста, определите предельные издержки монополиста.
В задаче ничего не сказано о единицах измерения объема, поэтому мы можем выбрать такие единицы для Q, при которых функция спроса имеет вид: Q=a-P. Будем считать, что MC=ATC=c.
Нынешнее значение прибыли: \pi=(a-40)(40-c) (1).
Если цена будет равна 1,35P = 54, \quad \pi_1 = (a - 54)(54 - c) = 1,35(a - 40)(40 - c) \quad (2).
Если цена будет равна 1,45P = 58, \quad \pi_2 = (a - 58)(58 - c) = (1 - 0,45)(a - 40)(40 - c) \quad (3).
Уравнения (2) и (3) образуют следующую систему:
\begin{cases} 54a - ac - 2916 + 54c = 54a - 1,35ac - 2160 + 54c \\ 58a - ac - 3364 + 58c = 22a - 0,55ac - 880 + 22c \end{cases}
\begin{cases} 0,35ac - 756 = 0 \quad (4) \\ 36a - 0,45ac - 2484 + 36c = 0 \quad (5) \end{cases}
Умножим левую и правую части уравнения (4) на 7/9, а затем сложим уравнения (4) и (5). После этого получим: 36a-3456+36c=0. a=96-c. Подставим это выражение для a в уравнение (4) : 0,35(96-c)c-756=0. -0,35c^2+33,6c-756=0. Получаем два корня: c_1=36 ; c_2=60 (этот корень не подходит, так как средние издержки не могут быть выше нынешней цены).
Ответ. MC=36.