Денежная эмиссия и реакция профсоюза
ВВП страны Z производится по технологии Y(L)=16\sqrt L, где L (количество работающих жителей) а номинальная заработная плата w, устанавливаемая профсоюзом, равна 2 д.е. Кривая совокупного предложения Y_s(P) выводится из максимизации прибыли: при каждом уровне цен P предложение Y_s(P) определяется так, как если бы вся экономика была бы конкурентной фирмой, закупающей труд по цене w и продающей товар по цене P.
Кривая совокупного спроса в стране Z выводится из уравнения количественной теории денег MV=PY ; при этом скорость обращения денег V равна единице. Изначально денежная масса равна 100 д.е.
Государство хотело бы напечатать для собственных нужд побольше денег; оно проводит эмиссию, увеличивая денежную массу на \Delta M=100m. Если напечатать мало, то можно недополучить часть возможных выгод, но если напечатать много, то можно спровоцировать высокую инфляцию, и напечатанные деньги будут обладать низкой покупательной способностью. В результате государство максимизирует величину \Delta M/P_1 — размер эмиссии в реальном выражении ( P_1 — новый уровень цен).
Профсоюз в стране Z имеет огромное влияние, и при любом повышении денежной массы на 100m номинальная зарплата будет проиндексирована не в (1+m) раз, а больше: вместо прежнего уровня 2 д.е. она составит 2*(1+m)^{\alpha}, где \alpha >1 — «сила» профсоюза.
На сколько процентов государству следует увеличить номинальное предложение денег? Как ваш ответ зависит от \alpha ? Приведите экономическую интерпретацию знака этой зависимости.
Найдем совокупное предложение. «Фирма», которой является экономика, максимизирует прибыль — функцию \pi(L)=P*16\sqrt L-wL. Взяв производную, получаем
\pi' = \frac{8P}{\sqrt{L}} - w.
Если приравнять производную к нулю, получим
L^* = \frac{64P^2}{w^2},
уравнение спроса на труд. Можно убедиться, что при L=L^* производная меняет знак с положительного на отрицательный, то есть мы имеем максимум.
Примечание. Возможны и другие способы нахождения критической точки и проверки на максимум. Так, можно заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз относительно \sqrt L, воспользоваться условием MRP_L=w, а также найти знак второй производной и убедиться, что он отрицательный.
Подставляя спрос на труд в производственную функцию, получаем уравнение AS :
Y=128\frac{P}{w}.
Воспользовавшись уравнением количественной теории денег с учетом V=1, получим кривую совокупного спроса:
Y=\frac{M}{P}.
Найдем равновесие на товарном рынке, приравняв AD и AS :
128\frac{P}{w}=\frac{M}{P},
откуда равновесный уровень цен
P=\frac{\sqrt{w*M}}{8*\sqrt 2}.
Из условия следует, что после вмешательства w=2*(1+m)^{\alpha}, а M=100+100m. С учетом этого можно уточнить целевую функцию государства:
\frac{\Delta M}{P_1} = \frac{100m}{\sqrt{\frac{w \cdot M}{8\sqrt{2}}}} = \frac{100m \cdot 8\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot (1 + m)^\alpha \cdot (100 + 100m)} = \frac{80m}{(1 + m)^{(\alpha + 1)/2}}.
Производная этого выражения по mm равна
\left( \frac{\Delta M}{P_1} \right)' = \frac{80 \cdot (1+m)^{(\alpha + 1)/2} - \frac{\alpha + 1}{2}(1+m)^{(\alpha - 1)/2} \cdot 80m}{(1+m)^{\alpha + 1}}.
Знаменатель этой дроби положительный, так что он не будет влиять на знак производной, то же можно сказать и про множитель 80 в числителе. После упрощения получаем, что производная равна нулю при
(1 + m)^{(\alpha - 1)/2} \left( 1 + \frac{1 - \alpha}{2} m \right) = 0.
Первый множитель всюду положителен, так что он не будут влиять на знак производной. Поэтому производная равна нулю в точке
m^*=\frac{2}{\alpha-1},
в которой она меняет знак с положительного на отрицательный (в силу \alpha>1 ). Таким образом, мы имеем максимум.
Видно, что оптимальное для государства увеличение денежной массы убывает по \alpha. Почему это происходит? Чем больше сила профсоюза, тем сильнее растет номинальная зарплата, а значит, сильнее растут издержки фирм и сокращается совокупное предложение при том же уровне m. А значит, чем больше \alpha, тем сильнее при увеличении денежной массы будут расти цены. Учитывая этот эффект, государству не следует сильно повышать денежную массу, если \alpha велико, поскольку оно максимизирует эмиссию в реальном выражении \Delta M/P_1.