Найдем совокупное предложение. «Фирма», которой является экономика, максимизирует прибыль — функцию \pi(L)=P*16\sqrt L-wL. Взяв производную, получаем

\pi' = \frac{8P}{\sqrt{L}} - w.

Если приравнять производную к нулю, получим

L^* = \frac{64P^2}{w^2},

уравнение спроса на труд. Можно убедиться, что при L=L^* производная меняет знак с положительного на отрицательный, то есть мы имеем максимум.

Примечание. Возможны и другие способы нахождения критической точки и проверки на максимум. Так, можно заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз относительно \sqrt L, воспользоваться условием MRP_L=w, а также найти знак второй производной и убедиться, что он отрицательный.

Подставляя спрос на труд в производственную функцию, получаем уравнение AS :

Y=128\frac{P}{w}.

Воспользовавшись уравнением количественной теории денег с учетом V=1, получим кривую совокупного спроса:

Y=\frac{M}{P}.

Найдем равновесие на товарном рынке, приравняв AD и AS :

128\frac{P}{w}=\frac{M}{P},

откуда равновесный уровень цен

P=\frac{\sqrt{w*M}}{8*\sqrt 2}.

Из условия следует, что после вмешательства w=2*(1+m)^{\alpha}, а M=100+100m. С учетом этого можно уточнить целевую функцию государства:

\frac{\Delta M}{P_1} = \frac{100m}{\sqrt{\frac{w \cdot M}{8\sqrt{2}}}} = \frac{100m \cdot 8\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot (1 + m)^\alpha \cdot (100 + 100m)} = \frac{80m}{(1 + m)^{(\alpha + 1)/2}}.

Производная этого выражения по mm равна

\left( \frac{\Delta M}{P_1} \right)' = \frac{80 \cdot (1+m)^{(\alpha + 1)/2} - \frac{\alpha + 1}{2}(1+m)^{(\alpha - 1)/2} \cdot 80m}{(1+m)^{\alpha + 1}}.

Знаменатель этой дроби положительный, так что он не будет влиять на знак производной, то же можно сказать и про множитель 80 в числителе. После упрощения получаем, что производная равна нулю при

(1 + m)^{(\alpha - 1)/2} \left( 1 + \frac{1 - \alpha}{2} m \right) = 0.

Первый множитель всюду положителен, так что он не будут влиять на знак производной. Поэтому производная равна нулю в точке

m^*=\frac{2}{\alpha-1},

в которой она меняет знак с положительного на отрицательный (в силу \alpha>1 ). Таким образом, мы имеем максимум.

Видно, что оптимальное для государства увеличение денежной массы убывает по \alpha. Почему это происходит? Чем больше сила профсоюза, тем сильнее растет номинальная зарплата, а значит, сильнее растут издержки фирм и сокращается совокупное предложение при том же уровне m. А значит, чем больше \alpha, тем сильнее при увеличении денежной массы будут расти цены. Учитывая этот эффект, государству не следует сильно повышать денежную массу, если \alpha велико, поскольку оно максимизирует эмиссию в реальном выражении \Delta M/P_1.