X,Y,Z
Существуют две группы потребителей количество человек первой группы равно 100 и функция полезности каждого индивида U=X \cdot Y, причем каждый индивид их этой группы может потратить на приобретение товаров X и Y - не более 100 дырок от бублика (денежных единиц), количество человек второй группы равно 50, функция полезности каждого из них U = X^2 \cdot Y, и каждый индивид тратит на приобретение этих товаров не более 90 дырок от бубликов. Рынок товара X совершенно конкурентный на нём действует 20 идентичных фирм функция издержек каждой TC=0,125Q^2+2, на рынке товара Y действует монополист который имеет два завода функции издержек производства на них равны соответственно TC_1 = 30 \cdot Q_1^2 - 190 \cdot Q_1 + 4235 и TC_2 = 20 \cdot Q_2^2 - 190 \cdot Q_2 + 4143, товар Y субсидируется государством по схеме за правую проданную единицу Y монополист получает 20 дырок от бублика, за вторую в два раза больше, за третью в три, то есть 60, и так далее. Есть ещё рынок товара Z, на нём также действует монополист причём товар X является субститутом товару Z, а Y комплиментом. Спрос на Z описывается формулой Q_z = 210 - P_z + 6P_x - P_y, монополист может совершить ценовую дискриминацию назначив разные цены для двух групп покупателей товара Z, группы формируются случайным образом, то есть в буквальном смысле из толпы, возможности арбитража у потребителей нет, Функция его издержек TC = Q^2. Какие цены он назначит и какова будет его прибыль при этом.
Так как мы сталкиваемся потребителями функция полезности которых имеет вид функции Кобба-Дугласа, можно без особых усилий вывести уравнения рыночного спроса на товары X и Y, Функция спроса в общем виде выведенная из функции Кобба-Дугласа U = X^a \cdot Y^b имеет вид X = \frac{a \cdot M}{(a + b) \cdot P_x}, таким образом функция одного i -ого потребителя на товар X из первой группы равна X_i = \frac{50}{P_x}, умножаем это на число потребителей первой группы получаем X = \frac{5000}{P_x}, аналогично делаем туже процедуру для второй группы и складываем получившееся спросы, в итоге получаем что спрос на товар X=\frac{8000}{P_x}, а Y=\frac{6500}{P_y}.
Находим цену товара X, для этого требуется вывести функцию рыночного предложения. Берем производную для издержек одной конкурентной фирмы получаем MC = 0,25Q = P, тогда Q=4P Q_3 = 4P, а рыночное предложение соответственно Q_s = 80 \cdot P, в таких условия равновесная цена P_x будет равняться 10.
Потребители потратят на товар Y 6500, при любом неотрицательном выпуске, то есть монополист получает эту сумму в любом случае если он на рынке, То есть его выручка постоянна и прибыль зависит только от его издержек, так как он получает субсидию, функция его издержек изменятся, и он ставит целью их минимизировать дабы получить максимальную прибыль. Схема по которой монополист получает субсидию равна сумме членов арифметической прогрессии при любом целом Y больше единицы, и выглядит эта сумма SB = 10 \cdot (Y + 1) \cdot Y, тогда функция издержек приобретает вид:
TC = 30 \cdot Q_1^2 - 190 \cdot Q_1 + 4235 + 20 \cdot Q_2^2 - 190 \cdot Q_2 + 4143 - 10 \cdot (Q_1 + Q_2 + 1) \cdot (Q_1 + Q_2)
, так как мы сталкиваемся с двумя переменными решаем это уравнение взяв, частные производные по Q_1 и Q_2, в итоге получим что Q_1=20, Q_2=30, Y=50. При таком Y, P_y=130.
Узнав цены на товары X и Y, мы можем получить функцию спроса товара Z, Q_z=140-P_z. Так как монополист совершает ценовую дискриминацию, он продаёт товар Z по двум разным ценам, пусть P_l, льготная цена, P_n - нормальная, тогда Q_n=140-P_n, а по льготной цене продаётся остаточный спрос Q_l=140-P_l-Q_n, выражаем P_n и P_l через соответствующие выпуски и пишем уравнения для прибыли. Оно имеет вид:
Pr = (140 - Q_n) \cdot P_n + (140 - Q_l - Q_n) \cdot Q_l = (Q_l + Q_n)^2, снова применяем метод частных производным получаем, что
Q_l = Q_n = 20, тогда P_l = 100, P_n = 120, Pr = 2800. ВСЁ!
P. S. Для сравнения можно посчитать прибыль если бы монополист не мог вводить ценовую дискриминацию, тогда MR=MC, Q=35, P=105, P_r=2450, то есть на 350 НИЖЕ.
Надеюсь что грамматических и математических опечаток в решении мне удалось избежать.
Ответ:
120, 100, 2800