X,Y,Z
Существуют две группы потребителей количество человек первой группы равно 100 и функция полезности каждого индивида , причем каждый индивид их этой группы может потратить на приобретение товаров и - не более 100 дырок от бублика (денежных единиц), количество человек второй группы равно 50, функция полезности каждого из них , и каждый индивид тратит на приобретение этих товаров не более 90 дырок от бубликов. Рынок товара X совершенно конкурентный на нём действует 20 идентичных фирм функция издержек каждой , на рынке товара действует монополист который имеет два завода функции издержек производства на них равны соответственно и , товар субсидируется государством по схеме за правую проданную единицу монополист получает 20 дырок от бублика, за вторую в два раза больше, за третью в три, то есть 60, и так далее. Есть ещё рынок товара , на нём также действует монополист причём товар является субститутом товару , а комплиментом. Спрос на описывается формулой , монополист может совершить ценовую дискриминацию назначив разные цены для двух групп покупателей товара , группы формируются случайным образом, то есть в буквальном смысле из толпы, возможности арбитража у потребителей нет, Функция его издержек . Какие цены он назначит и какова будет его прибыль при этом.
Ответ
Так как мы сталкиваемся потребителями функция полезности которых имеет вид функции Кобба-Дугласа, можно без особых усилий вывести уравнения рыночного спроса на товары и , Функция спроса в общем виде выведенная из функции Кобба-Дугласа имеет вид , таким образом функция одного -ого потребителя на товар из первой группы равна , умножаем это на число потребителей первой группы получаем , аналогично делаем туже процедуру для второй группы и складываем получившееся спросы, в итоге получаем что спрос на товар , а .
Находим цену товара , для этого требуется вывести функцию рыночного предложения. Берем производную для издержек одной конкурентной фирмы получаем , тогда , а рыночное предложение соответственно , в таких условия равновесная цена будет равняться 10.
Потребители потратят на товар 6500, при любом неотрицательном выпуске, то есть монополист получает эту сумму в любом случае если он на рынке, То есть его выручка постоянна и прибыль зависит только от его издержек, так как он получает субсидию, функция его издержек изменятся, и он ставит целью их минимизировать дабы получить максимальную прибыль. Схема по которой монополист получает субсидию равна сумме членов арифметической прогрессии при любом целом больше единицы, и выглядит эта сумма , тогда функция издержек приобретает вид:
, так как мы сталкиваемся с двумя переменными решаем это уравнение взяв, частные производные по и , в итоге получим что . При таком .
Узнав цены на товары и , мы можем получить функцию спроса товара . Так как монополист совершает ценовую дискриминацию, он продаёт товар по двум разным ценам, пусть , льготная цена, - нормальная, тогда , а по льготной цене продаётся остаточный спрос , выражаем и через соответствующие выпуски и пишем уравнения для прибыли. Оно имеет вид:
снова применяем метод частных производным получаем, что
, тогда . ВСЁ!
P. S. Для сравнения можно посчитать прибыль если бы монополист не мог вводить ценовую дискриминацию, тогда , то есть на НИЖЕ.
Надеюсь что грамматических и математических опечаток в решении мне удалось избежать.
Ответ: