Творог и сыворотка
Фермерское хозяйство производит творог и, являясь единственным продавцом творога на местном рынке, получает от его продажи максимальную прибыль. Издержки производства задаются функцией , дневной спрос на творог — функцией , где — количество пачек творога (шт.), — цена одной пачки (ден. ед.).
а) Определите дневной объем продаж и прибыль фермерского хозяйства.
б) При производстве каждой пачки творога остается два литра сыворотки, которую в хозяйстве прежде утилизировали, а теперь решили также продавать. Спрос на сыворотку описывается функцией ( — количество сыворотки, литров, — цена за один литр, ден. ед.), сыворотку на местном рынке никто еще не продает, затратами на ее упаковку можно пренебречь. Определите, какое количество творога и сыворотки следует продавать, если хозяйство стремится получать максимальную прибыль. На сколько увеличится в этом случае прибыль по сравнению с пунктом а)?
Ответ
б) Теперь при производстве каждой пачки творога можно получать доход не только от его продажи, но и от продажи двух литров сыворотки. То есть при прежних издержках доход возрастает. Иными словами производство каждой дополнительной пачки творога приносит не только предельный доход от продажи этой пачки, но и от продажи двух лит-ров сыворотки. А значит предельные издержки следует сравнивать уже с совокупным предельным доходом, получаемым от продажи и творога и сыворотки . Однако, чтобы предельные доходы можно было складывать (геометрически происходит вертикальное сложение), нужно чтобы они были функциями одной переменной. Запишем функцию дохода от продажи сыворотки . Учитывая, что при производстве одной пачки творога получается два литра сыворотки, то есть , произведем замену: . Следовательно, . Теперь, когда и предельный доход от продажи творога и предельный доход от продажи сыворотки являются функциями от одной переменной, их можно сложить. Однако, следует помнить, что, фирма выбирает оптимальный объем производства из тех, при которых предельный доход положителен ( ). Поэтому функция совокупного предельного до-хода выглядит следующим образом:
То есть при продаже 30 пачек творога и меньше предельный доход от продажи как творога, так и сыворотки положителен, следовательно, есть смысл продавать оба продукта в размере объемов производства. При продаже более 30 пачек творога и до 200, предельный продукт от продажи сыворотки становится отрицательным, то есть продажа каждого дополнительного литра уменьшает совокупный доход, и значит, в объеме производства следует продавать только творог, а сыворотку – только в том объеме, который максимизирует выручку ( при ), а остальное утилизировать как и ранее. Остается только выяснить оптимальный объем производства из условия равенства предельных до-ходов и предельных издержек .
Функция издержек ввиду того, что затратами на упаковку сыворотки можно пренебречь, остается прежней (пункт а), не меняются и предельные издержки (пункт а). Решая уравнение, получаем: , то есть оптимальный объем продаж творога больше 30 пачек, а значит, следует продавать сыворотку в количестве, максимизирующем выручку, то есть .
То же самое решение можно получить, аккуратно записав функцию прибыли, произведя, как сделано выше, замену переменных в доходе от продажи сыворотки. Только дифференцируя затем функцию прибыли, нужно не забыть проверить предельные доходы на положительность. Иначе ответ будет не верный.
Ответ:
а) 100 пачек творога, прибыль 4200 ден. ед.
б) продавать нужно 100 пачек творога и 60 литров сыворотки. Прибыль возрастет на 1800 ден. ед.