Творог и сыворотка
Фермерское хозяйство производит творог и, являясь единственным продавцом творога на местном рынке, получает от его продажи максимальную прибыль. Издержки производства задаются функцией TC=0,2Q^2+10Q+300, дневной спрос на творог — функцией Q=400-4P, где Q — количество пачек творога (шт.), P — цена одной пачки (ден. ед.).
а) Определите дневной объем продаж и прибыль фермерского хозяйства.
б) При производстве каждой пачки творога остается два литра сыворотки, которую в хозяйстве прежде утилизировали, а теперь решили также продавать. Спрос на сыворотку описывается функцией Q_C=120-2P_C (Q_C — количество сыворотки, литров, P_C — цена за один литр, ден. ед.), сыворотку на местном рынке никто еще не продает, затратами на ее упаковку можно пренебречь. Определите, какое количество творога и сыворотки следует продавать, если хозяйство стремится получать максимальную прибыль. На сколько увеличится в этом случае прибыль по сравнению с пунктом а)?
MC=0,4Q+10
MR=100-0,5Q
MC = MR \quad \Rightarrow \quad Q = 100, \ P = 75, \ TR = 7500, \ TC = 3300, \ \pi = 4200.
б) Теперь при производстве каждой пачки творога можно получать доход не только от его продажи, но и от продажи двух литров сыворотки. То есть при прежних издержках доход возрастает. Иными словами производство каждой дополнительной пачки творога приносит не только предельный доход от продажи этой пачки, но и от продажи двух лит-ров сыворотки. А значит предельные издержки следует сравнивать уже с совокупным предельным доходом, получаемым от продажи и творога и сыворотки MR_{\text{total}} = MR_T + MR_C, \quad \text{где} \ MR_T = 100 - 0,5Q_T \ \text{– предельный доход от продажи творога (см. п.а)}, \ MR_C = TR'_C \ \text{– предельный доход от продажи сыворотки}. Однако, чтобы предельные доходы можно было складывать (геометрически происходит вертикальное сложение), нужно чтобы они были функциями одной переменной. Запишем функцию дохода от продажи сыворотки TR_C = P_C \cdot Q_C = (60 - 0,5Q_C) \cdot Q_C.. Учитывая, что при производстве одной пачки творога получается два литра сыворотки, то есть Q_C = 2Q_T , произведем замену:TR_C = (60 - 0,5 \cdot 2Q_T) \cdot 2Q_T = 120Q_T - 2Q_T^2. . Следовательно, MR_C = 120 - 4Q_T. Теперь, когда и предельный доход от продажи творога и предельный доход от продажи сыворотки являются функциями от одной переменной, их можно сложить. Однако, следует помнить, что, фирма выбирает оптимальный объем производства из тех, при которых предельный доход положителен (MR_T \geq 0, \ MR_C \geq 0 ). Поэтому функция совокупного предельного до-хода выглядит следующим образом:
MR_{\text{total}} = \begin{cases} 220 - 4,5Q_T, \quad Q_T \leq 30 \\ 100 - 0,5Q_T, \quad 30 < Q_T \leq 200. \end{cases}
То есть при продаже 30 пачек творога и меньше предельный доход от продажи как творога, так и сыворотки положителен, следовательно, есть смысл продавать оба продукта в размере объемов производства. При продаже более 30 пачек творога и до 200, предельный продукт от продажи сыворотки становится отрицательным, то есть продажа каждого дополнительного литра уменьшает совокупный доход, и значит, в объеме производства следует продавать только творог, а сыворотку – только в том объеме, который максимизирует выручку (MR_C при Q_C=60 ), а остальное утилизировать как и ранее. Остается только выяснить оптимальный объем производства из условия равенства предельных до-ходов и предельных издержек MR_{total}=MC.
Функция издержек ввиду того, что затратами на упаковку сыворотки можно пренебречь, остается прежней (пункт а), не меняются и предельные издержки (пункт а). Решая уравнение, получаем: Q_T=100, P_T=75, то есть оптимальный объем продаж творога больше 30 пачек, а значит, следует продавать сыворотку в количестве, максимизирующем выручку, то есть Q_C = 60 \quad P_C = 30 \quad TR = 9300 \quad TC = 3300 \quad \pi = 6000 \quad \Delta \pi = 1800..
То же самое решение можно получить, аккуратно записав функцию прибыли, произведя, как сделано выше, замену переменных в доходе от продажи сыворотки. Только дифференцируя затем функцию прибыли, нужно не забыть проверить предельные доходы на положительность. Иначе ответ будет не верный.
Ответ:
а) 100 пачек творога, прибыль 4200 ден. ед.
б) продавать нужно 100 пачек творога и 60 литров сыворотки. Прибыль возрастет на 1800 ден. ед.